问题
我一直在研究HPC，特别是使用矩阵乘法作为我的项目（参见我在配置文件中的其他帖子）。我在那些方面取得了不错的成绩，但还不够好。我退后一步看看我能用点积计算做得多好。
点积与矩阵乘法
点积更简单，我可以测试HPC概念而无需处理打包和其他相关问题。缓存阻塞仍然是一个问题，这是我的第二个问题。
算法
将两个n数组double和A中的B个相应元素相乘并求它们。装配中的double点积只是一系列movapd，mulpd，addpd。以聪明的方式展开和排列，可以使movapd / mulpd / addpd组在不同的xmm寄存器上运行，因此是独立的，优化流水线操作。当然，事实证明，这与我的CPU无序执行无关。另请注意，重新安排需要剥离最后一次迭代。
其他假设
我不是在编写通用点积的代码。代码是针对特定尺寸的，我不处理边缘情况。这只是为了测试HPC概念并查看我可以达到的CPU使用类型。
结果
与gcc -std=c99 -O2 -m32 -mincoming-stack-boundary=2 -msse3 -mfpmath=sse,387 -masm=intel一起编译。我和平时不同的电脑。这台计算机有一个i5 540m，在两步英特尔Turbo Boost之后可以获得2.8 GHz * 4 FLOPS/cycle/core = 11.2 GFLOPS/s per core（两个核心现在都在，所以它只有两步...如果我转向可以进行4步提升关闭一个核心）。当设置为使用一个线程运行时，32位LINPACK大约为9.5 GFLOPS / s。
N Total Gflops/s Residual
256 5.580521 1.421085e-014
384 5.734344 -2.842171e-014
512 5.791168 0.000000e+000
640 5.821629 0.000000e+000
768 5.814255 2.842171e-014
896 5.807132 0.000000e+000
1024 5.817208 -1.421085e-013
1152 5.805388 0.000000e+000
1280 5.830746 -5.684342e-014
1408 5.881937 -5.684342e-014
1536 5.872159 -1.705303e-013
1664 5.881536 5.684342e-014
1792 5.906261 -2.842171e-013
1920 5.477966 2.273737e-013
2048 5.620931 0.000000e+000
2176 3.998713 1.136868e-013
2304 3.370095 -3.410605e-013
2432 3.371386 -3.410605e-013
问题1
我怎么能比这更好？我甚至没有接近峰值表现。我已经将装配代码优化到了高天堂。进一步展开可能会增加一点，但较少的展开似乎会降低性能。
问题2
n > 2048时，您可以看到效果下降。这是因为我的L1缓存为32KB，当n = 2048和A以及B为double时，它们会占用整个缓存。任何更大的，他们从记忆中流出。
我尝试了缓存阻止（未在源代码中显示），但也许我做错了。任何人都可以提供一些代码或解释如何阻止缓存的点积？
源代码
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <x86intrin.h>
#include <math.h>
#include <omp.h>
#include <stdint.h>
#include <windows.h>
// computes 8 dot products
#define KERNEL(address) \
"movapd xmm4, XMMWORD PTR [eax+"#address"] \n\t" \
"mulpd xmm7, XMMWORD PTR [edx+48+"#address"] \n\t" \
"addpd xmm2, xmm6 \n\t" \
"movapd xmm5, XMMWORD PTR [eax+16+"#address"] \n\t" \
"mulpd xmm4, XMMWORD PTR [edx+"#address"] \n\t" \
"addpd xmm3, xmm7 \n\t" \
"movapd xmm6, XMMWORD PTR [eax+96+"#address"] \n\t" \
"mulpd xmm5, XMMWORD PTR [edx+16+"#address"] \n\t" \
"addpd xmm0, xmm4 \n\t" \
"movapd xmm7, XMMWORD PTR [eax+112+"#address"] \n\t" \
"mulpd xmm6, XMMWORD PTR [edx+96+"#address"] \n\t" \
"addpd xmm1, xmm5 \n\t"
#define PEELED(address) \
"movapd xmm4, XMMWORD PTR [eax+"#address"] \n\t" \
"mulpd xmm7, [edx+48+"#address"] \n\t" \
"addpd xmm2, xmm6 \n\t" \
"movapd xmm5, XMMWORD PTR [eax+16+"#address"] \n\t" \
"mulpd xmm4, XMMWORD PTR [edx+"#address"] \n\t" \
"addpd xmm3, xmm7 \n\t" \
"mulpd xmm5, XMMWORD PTR [edx+16+"#address"] \n\t" \
"addpd xmm0, xmm4 \n\t" \
"addpd xmm1, xmm5 \n\t"
inline double
__attribute__ ((gnu_inline))
__attribute__ ((aligned(64))) ddot_ref(
int n,
const double* restrict A,
const double* restrict B)
{
double sum0 = 0.0;
double sum1 = 0.0;
double sum2 = 0.0;
double sum3 = 0.0;
double sum;
for(int i = 0; i < n; i+=4) {
sum0 += *(A + i ) * *(B + i );
sum1 += *(A + i+1) * *(B + i+1);
sum2 += *(A + i+2) * *(B + i+2);
sum3 += *(A + i+3) * *(B + i+3);
}
sum = sum0+sum1+sum2+sum3;
return(sum);
}
inline double
__attribute__ ((gnu_inline))
__attribute__ ((aligned(64))) ddot_asm
( int n,
const double* restrict A,
const double* restrict B)
{
double sum;
__asm__ __volatile__
(
"mov eax, %[A] \n\t"
"mov edx, %[B] \n\t"
"mov ecx, %[n] \n\t"
"pxor xmm0, xmm0 \n\t"
"pxor xmm1, xmm1 \n\t"
"pxor xmm2, xmm2 \n\t"
"pxor xmm3, xmm3 \n\t"
"movapd xmm6, XMMWORD PTR [eax+32] \n\t"
"movapd xmm7, XMMWORD PTR [eax+48] \n\t"
"mulpd xmm6, XMMWORD PTR [edx+32] \n\t"
"sar ecx, 7 \n\t"
"sub ecx, 1 \n\t" // peel
"L%=: \n\t"
KERNEL(64 * 0)
KERNEL(64 * 1)
KERNEL(64 * 2)
KERNEL(64 * 3)
KERNEL(64 * 4)
KERNEL(64 * 5)
KERNEL(64 * 6)
KERNEL(64 * 7)
KERNEL(64 * 8)
KERNEL(64 * 9)
KERNEL(64 * 10)
KERNEL(64 * 11)
KERNEL(64 * 12)
KERNEL(64 * 13)
KERNEL(64 * 14)
KERNEL(64 * 15)
"lea eax, [eax+1024] \n\t"
"lea edx, [edx+1024] \n\t"
" \n\t"
"dec ecx \n\t"
"jnz L%= \n\t" // end loop
" \n\t"
KERNEL(64 * 0)
KERNEL(64 * 1)
KERNEL(64 * 2)
KERNEL(64 * 3)
KERNEL(64 * 4)
KERNEL(64 * 5)
KERNEL(64 * 6)
KERNEL(64 * 7)
KERNEL(64 * 8)
KERNEL(64 * 9)
KERNEL(64 * 10)
KERNEL(64 * 11)
KERNEL(64 * 12)
KERNEL(64 * 13)
KERNEL(64 * 14)
PEELED(64 * 15)
" \n\t"
"addpd xmm0, xmm1 \n\t" // summing result
"addpd xmm2, xmm3 \n\t"
"addpd xmm0, xmm2 \n\t" // cascading add
"movapd xmm1, xmm0 \n\t" // copy xmm0
"shufpd xmm1, xmm0, 0x03 \n\t" // shuffle
"addsd xmm0, xmm1 \n\t" // add low qword
"movsd %[sum], xmm0 \n\t" // mov low qw to sum
: // outputs
[sum] "=m" (sum)
: // inputs
[A] "m" (A),
[B] "m" (B),
[n] "m" (n)
: //register clobber
"memory",
"eax","ecx","edx","edi",
"xmm0","xmm1","xmm2","xmm3","xmm4","xmm5","xmm6","xmm7"
);
return(sum);
}
int main()
{
// timers
LARGE_INTEGER frequency, time1, time2;
double time3;
QueryPerformanceFrequency(&frequency);
// clock_t time1, time2;
double gflops;
int nmax = 4096;
int trials = 1e7;
double sum, residual;
FILE *f = fopen("soddot.txt","w+");
printf("%16s %16s %16s\n","N","Total Gflops/s","Residual");
fprintf(f,"%16s %16s %16s\n","N","Total Gflops/s","Residual");
for(int n = 256; n <= nmax; n += 128 ) {
double* A = NULL;
double* B = NULL;
A = _mm_malloc(n*sizeof(*A), 64); if (!A) {printf("A failed\n"); return(1);}
B = _mm_malloc(n*sizeof(*B), 64); if (!B) {printf("B failed\n"); return(1);}
srand(time(NULL));
// create arrays
for(int i = 0; i < n; ++i) {
*(A + i) = (double) rand()/RAND_MAX;
*(B + i) = (double) rand()/RAND_MAX;
}
// warmup
sum = ddot_asm(n,A,B);
QueryPerformanceCounter(&time1);
// time1 = clock();
for (int count = 0; count < trials; count++){
// sum = ddot_ref(n,A,B);
sum = ddot_asm(n,A,B);
}
QueryPerformanceCounter(&time2);
time3 = (double)(time2.QuadPart - time1.QuadPart) / frequency.QuadPart;
// time3 = (double) (clock() - time1)/CLOCKS_PER_SEC;
gflops = (double) (2.0*n*trials)/time3/1.0e9;
residual = ddot_ref(n,A,B) - sum;
printf("%16d %16f %16e\n",n,gflops,residual);
fprintf(f,"%16d %16f %16e\n",n,gflops,residual);
_mm_free(A);
_mm_free(B);
}
fclose(f);
return(0); // successful completion
}
编辑：汇编说明
点积只是两个数字的乘积的重复总和：sum += a[i]*b[i]。在第一次迭代之前，sum必须初始化为0。矢量化，你可以一次做2个总和，最后必须求和：[sum0 sum1] = [a[i] a[i+1]]*[b[i] b[i+1]]，sum = sum0 + sum1。在（英特尔）程序集中，这是3个步骤（初始化后）：
pxor xmm0, xmm0 // accumulator [sum0 sum1] = [0 0]
movapd xmm1, XMMWORD PTR [eax] // load [a[i] a[i+1]] into xmm1
mulpd xmm1, XMMWORD PTR [edx] // xmm1 = xmm1 * [b[i] b[i+1]]
addpd xmm0, xmm1 // xmm0 = xmm0 + xmm1
此时你没什么特别的，编译器可以拿出来。通常可以通过展开代码足以使用所有可用的xmm寄存器（32位模式下的8个寄存器）来获得更好的性能。因此，如果您将其展开4次，则可以使用所有8个寄存器xmm0到xmm7。您将有4个累加器和4个寄存器，用于存储movapd和addpd的结果。同样，编译器可以想出这个。真正的思考部分是尝试提出一种管道代码的方法，即使MOV / MUL / ADD组中的每条指令在不同的寄存器上运行，以便所有3条指令同时执行（通常情况下是大多数CPU）。这就是你击败编译器的方式。所以你必须对4x展开的代码进行模式化，这可能需要提前加载向量并剥离第一次或最后一次迭代。这就是KERNEL(address)。为方便起见，我制作了4x展开的流水线代码的宏。这样，只需更改address，我就可以轻松地将其展开为4的倍数。每个KERNEL计算8个点产品。
答案 0 :(得分：11)
要回答您的整体问题，您可以使用点积来达到最佳效果。
问题是您的CPU可以在每个时钟周期执行一次128位加载，并且为了完成点积，每个时钟周期需要两个128位加载。
但它比大n更糟糕。你的第二个问题的答案是点积是内存绑定而不是计算绑定，所以它不能与具有快速核的大n并行化。这在why-vectorizing-the-loop-does-not-have-performance-improvement更好地解释。这是与快速核心并行化的一个大问题。我花了一段时间来弄明白这一点，但这对你来说非常重要。
实际上很少有基本算法可以从快速核心上的并行化中充分受益。就BLAS算法而言，它只是Level-3算法（O（n ^ 3）），例如矩阵乘法，它真正受益于并行化。在慢速核心上情况更好，例如使用GPU和Xeon Phi，因为内存速度和核心速度之间的差异要小得多。
如果你想找到一个能够接近峰值触发器的算法，例如小的尝试，例如标量*向量或标量*向量的总和。第一种情况应该是每个时钟周期执行一次加载，一次多次存储和一次存储，第二种情况是每个时钟周期执行一次多次，一次加载和一次加载。
我在Knoppix 7.3 32位的Core 2 Duo P9600@2.67GHz上测试了以下代码。 我得到标量积的峰值的75％和标量积之和的峰值的75％。标量积的触发器/周期是2和标量积的总和它的4。
使用g++ -msse2 -O3 -fopenmp foo.cpp -ffast-math
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <omp.h>
#include <x86intrin.h>
void scalar_product(double * __restrict a, int n) {
a = (double*)__builtin_assume_aligned (a, 64);
double k = 3.14159;
for(int i=0; i<n; i++) {
a[i] = k*a[i];
}
}
void scalar_product_SSE(double * __restrict a, int n) {
a = (double*)__builtin_assume_aligned (a, 64);
__m128d k = _mm_set1_pd(3.14159);
for(int i=0; i<n; i+=8) {
__m128d t1 = _mm_load_pd(&a[i+0]);
_mm_store_pd(&a[i],_mm_mul_pd(k,t1));
__m128d t2 = _mm_load_pd(&a[i+2]);
_mm_store_pd(&a[i+2],_mm_mul_pd(k,t2));
__m128d t3 = _mm_load_pd(&a[i+4]);
_mm_store_pd(&a[i+4],_mm_mul_pd(k,t3));
__m128d t4 = _mm_load_pd(&a[i+6]);
_mm_store_pd(&a[i+6],_mm_mul_pd(k,t4));
}
}
double scalar_sum(double * __restrict a, int n) {
a = (double*)__builtin_assume_aligned (a, 64);
double sum = 0.0;
double k = 3.14159;
for(int i=0; i<n; i++) {
sum += k*a[i];
}
return sum;
}
double scalar_sum_SSE(double * __restrict a, int n) {
a = (double*)__builtin_assume_aligned (a, 64);
__m128d sum1 = _mm_setzero_pd();
__m128d sum2 = _mm_setzero_pd();
__m128d sum3 = _mm_setzero_pd();
__m128d sum4 = _mm_setzero_pd();
__m128d k = _mm_set1_pd(3.14159);
for(int i=0; i<n; i+=8) {
__m128d t1 = _mm_load_pd(&a[i+0]);
sum1 = _mm_add_pd(_mm_mul_pd(k,t1),sum1);
__m128d t2 = _mm_load_pd(&a[i+2]);
sum2 = _mm_add_pd(_mm_mul_pd(k,t2),sum2);
__m128d t3 = _mm_load_pd(&a[i+4]);
sum3 = _mm_add_pd(_mm_mul_pd(k,t3),sum3);
__m128d t4 = _mm_load_pd(&a[i+6]);
sum4 = _mm_add_pd(_mm_mul_pd(k,t4),sum4);
}
double tmp[8];
_mm_storeu_pd(&tmp[0],sum1);
_mm_storeu_pd(&tmp[2],sum2);
_mm_storeu_pd(&tmp[4],sum3);
_mm_storeu_pd(&tmp[6],sum4);
double sum = 0;
for(int i=0; i<8; i++) sum+=tmp[i];
return sum;
}
int main() {
//_MM_SET_FLUSH_ZERO_MODE(_MM_FLUSH_ZERO_ON);
//_mm_setcsr(_mm_getcsr() | 0x8040);
double dtime, peak, flops, sum;
int repeat = 1<<18;
const int n = 2048;
double *a = (double*)_mm_malloc(sizeof(double)*n,64);
double *b = (double*)_mm_malloc(sizeof(double)*n,64);
for(int i=0; i<n; i++) a[i] = 1.0*rand()/RAND_MAX;
dtime = omp_get_wtime();
for(int r=0; r<repeat; r++) {
scalar_product_SSE(a,n);
}
dtime = omp_get_wtime() - dtime;
peak = 2*2.67;
flops = 1.0*n/dtime*1E-9*repeat;
printf("time %f, %f, %f\n", dtime,flops, flops/peak);
//for(int i=0; i<n; i++) a[i] = 1.0*rand()/RAND_MAX;
//sum = 0.0;
dtime = omp_get_wtime();
for(int r=0; r<repeat; r++) {
scalar_sum_SSE(a,n);
}
dtime = omp_get_wtime() - dtime;
peak = 2*2*2.67;
flops = 2.0*n/dtime*1E-9*repeat;
printf("time %f, %f, %f\n", dtime,flops, flops/peak);
//printf("sum %f\n", sum);
}