仅具有按位运算的两个简单表达式的相等性

Question

在C语言中给出以下两个函数：

int f(int x, int y, int z) {
    return (x & y) | ((~x) & z);
}

int g(int x, int y, int z) {
    return z ^ (x & (y ^ z));
}

对于任何有效的整数，两个函数的结果相等。

我只是想知道这两个表达式之间的数学。

我第一次在维基百科上的SHA-1算法中看到了函数f的表达式。

http://en.wikipedia.org/wiki/Sha1

在＆＃34; SHA-1伪代码＆＃34;部分，在主循环内：

if 0 ≤ i ≤ 19 then
        f = (b and c) or ((not b) and d)
        k = 0x5A827999
...

在一些开源实现中，它使用函数g：z ^（x＆amp;（y ^ z））中的形式。

我编写一个程序并迭代x，y，z的所有可能值，并且所有结果都相等。

如何推断表格

(x & y) | ((~x) & z) 

到表格

z ^ (x & (y ^ z))

在数学方面？不只是证明平等。

Answer 1

由于按位运算相当于对各个位的布尔运算，因此只需枚举{x, y, z}三元组的八个赋值即可证明等价。

填写这两个函数中的每一个的真值表，然后将八个位置相互比较。如果所有八个位置都匹配，则两个函数是等价的;否则，功能是不同的。

您无需手动执行此操作：在三个嵌套循环中插入两个函数，这些循环将x，y和z值从0调整为1，包括0和1比较调用f(x,y,z)到g(x,y,z)的结果。

Answer 2

您可以使用Karnaugh Map执行此操作。鉴于z ^ (x & (y ^ z))的{​​{3}}，卡诺图是：

可以看出，您可以从图表中创建两个组，为您提供(x & y) | (~x & z)