Codeforces＃236 Div2

Question

如果满足以下条件，让我们调用n个顶点的无向图p-interesting：

1. 图表恰好包含2n + p个边缘;
2. 图表不包含自循环和多个边;
3. 对于任何整数k（1≤k≤n），由k个顶点组成的任何子图包含最多2k + p个边。

图形的子图是一组图形顶点和一组图形边缘。此时，边集必须满足条件：集合中每条边的两端必须属于所选的顶点集。

任务是找到一个由n个顶点组成的p-interesting图。

要查看问题陈述，请点击here

我甚至不理解教程解释here。

如果有人能指出背景所需的理论或与此问题相关的一些模糊定理。我很高兴。

Answer 1

这是一篇有点混乱的社论。让我们首先关注创建0个有趣的图表。图论的关键事实是以下公式。

sum_{vertices v} degree(v) = 2 #edges

在每个顶点都有4度（4正则图）的图中，左边是4n，所以边数正好是2n。 4正则图的每个n'-顶点子图的顶点度数最多为4，因此左侧最多为4n'，边数最多为2n'。因此，每个4-regular图表都是0-有趣的。有很多方法可以获得4正则图;一种是将顶点i连接到顶点i - 2，i - 1，i + 1，i + 2模n。

假设n> = 5，编辑旨在证明由3到n和（1,2）的所有v组成的边（1，v）和（2，v）的图是“（ - 3）-interesting“，这在技术上不起作用，因为每个1顶点子图应该最多有2（1） - 3 = -1个边（oops）。因为感兴趣的实际p是非负的并且没有自循环，所以当我们添加如下的附加边时，这个问题将自行解决。对于n'> = 2的n'-顶点子图，我们考虑四种情况，其中两种是对称的。第一种情况是子图既不包括1也不包括2.该子图没有边，并且n'> = 2意味着0 <1。 2n' - 3.第二种情况是子图包括1而不是2.该子图可以具有从1到每个其他顶点的边，最多n' - 1 <= 2n' - 3个边。第三种情况是子图包括2而不是1;它与第二种情况对称。第四种情况是子图包括1和2，在这种情况下，它在1和2之间最多有1个边，从1到其他顶点有n' - 2个边，从2到其他顶点有n' - 2个边，总共最多2n'-3个边缘。

对于p-interesting图，观察结果是，通过将p个新边添加到0-有趣图中，根据需要，新图中的边数为2n + p。每个n'-顶点子图中的边数是旧边数加上新边数。与以前一样，旧边数最多为2n'。新边数最多为p。