将数字分成固定部分

Question

找到将数字M分成p部分而没有两部分相等的数字方法的算法是什么。 例： M = 5，P = 2 它们是（1,4）（2,3）。如果P = 3则没有可用的分区，即 不是（1,2,2）因为分区中有两个2。

Answer 1

在扩展产品中

  

（1 + X）（1 + X ² ）（1 + X ³ ）...（1 + X ^名词）

找到x ^ n的系数。这给出了将n表示为不同数字之和的任何可能性的数量，即，可变数量的项。

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您希望拥有可能的数量

  

n = i ₁ + i ₂ + ... + i _P ，其中i ₁ ＆lt; i ₂ ＆lt; ......＆lt;我 _P

可以通过设置

来实现

  

i ₁ = j ₁ ，i ₂ = i ₁ + j ₂ = j ₁ + j ₂ ，...

     

I <子> P = I _{P-1 + J <子> P = j的<子> 1 + J <子> 2} + ... + j _P ，所有j _k ＆gt; 0

这样原始任务就像计算一个人可以解决的所有方式一样

  

n = P * j ₁ +（P-1）* j ₂ + ... + 1 * j _P 全部j _k ＆gt; 0，但彼此无关。

相应的生成函数是x的幂的几何级数的乘积，省略了常数项，

  

（x + x ² + x ³ + ...）*（x ² + x ⁴ + x ⁶ + ...）*（x ³ + x ⁶ + x ⁹ + .. 。）* ... *（x ^P + x ^{2 * P} + x ^{3 * P} + ...）

     

= x ^{P *（P + 1）/ 2} *（1 + x + x ² + ...）*（1 + x ² + x ⁴ + ...）*（1 + x ³ + x ⁶ + ...）* .. 。*（1 + x ^P + x ^{2 * P} + ...）

显然，需要n> = P *（P + 1）/ 2来获得任何解决方案。对于P = 3，边界是n> = 6，因此在这种情况下n = 5确实没有解。

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算法

count = new double[N]
for k=0..N-1 do count[k] = 1
for j=2..P do
    for k=j..N-1 do
        count[k] += count[k-j]

然后count [k]包含n = P *（P + 1）/ 2 + k的组合数。