最小化数组的每个元素与整数K之间的差异总和

Question

给定一个N个非负整数的数组A，找到一个整数k，这样每个元素与k的差值之和最小。
即求和（abs（A [i] - k）），1＆lt; = i＆lt; = N，或简称为 | A [1] - k | + | A [2] - k | + | A [3] - k | + ... + | A [N] - k |

我的方法：

low = minimumValueInArray(A);
high= maximumValueInArray(A);
ans = Infinite;
for (k = low; k <= high; k++) {
    temp = 0;
    for (i = 1; i <= N; i++) {
        temp += abs(A[i] - K);
    }
    ans = min(ans, temp);
}
return ans;

这只是蛮力的方法，试图解决K的所有价值。我们可以优化它 这样做的更聪明的方法是什么？

参考：这是我背后的逻辑 Codejam Round 1B problem

Answer 1

我基本上得到了中位数。要最小化成本函数，请采用导数。

要查找成本函数的最小值，请找出导数为零的位置。成本函数在任何地方都不是连续可微的，但它是分段可微的。设S = A和si的排序数是第i个最大数。

案例1.如果m是奇数

将会有楼层（m / 2）ai小于中位数且楼层（m / 2）ai大于中位数。选择x =中位数，给出-m / 2 + 0 + m / 2 = 0。

案例2.如果m是偶数

对于si和s之间的值，导数将为零（i + 1）; i = m / 2。然后可以选择任何数字k，以便

简单的例子 1 2 4 50

选择2：1 + 0 + 2 + 48 = 51

选择4：3 + 2 + 0 + 46 = 51

选择3：2 + 1 + 1 + 47 = 51

所以任意选择s（m / 2）

对于更好的算法，O（NlogN）您可以对数字进行排序，然后根据需要从上面选择（m + 1）/ 2或m / 2，或者您可以使用可以计算答案的kth largest element在O（N）。

Answer 2

给定一组数字A_1，...，A_N，已知（参见例如http://homepages.gac.edu/~holte/courses/mcs256/problems/median.pdf）中位数最小化绝对偏差之和。

由于你有一个整数数组，所以：

（a）N为奇数，中位数为整数m，您将k设为。

（b）N是偶数，中位数是两个整数a和b的平均值。在这种情况下，事实证明a和b之间的所有数字都使绝对偏差的总和最小化。所以你可以选择k作为a，b或中间的任何整数（如果有的话）。

例如，如果数字是1,3,4,6,9 - 中位数是4，则将k设置为。 如果数字是4,7,12,15，则中位数是（7 + 12）/ 2，你可以将k设置为7到12之间的任何数字。例如，k = 7给出总偏差（7-4）+（7 -7）+（12-7）+（15-7）= 16且k = 12给出总偏差（12-4）+（12-7）+（12-12）+（15-12）= 16。

Answer 3

您可以以数字线上的点的形式表示数组中的所有值。

例如，数字行上的点可能如下所示：

_____________________ 4 ___________ 7 _______________________ 12 ___________ 15

所以根据问题定义，我们可以说数字线上与所有点等距的点应该给出正确的答案。

所以你要做的就是找到所有数字的平均值。将答案作为更接近平均值的整数返回。例如，对于2.66返回3，对于2.2返回2，对于2.5返回2或3中的任何一个。

运行时间：O(N)来计算数字的平均值。