如何计算C ++中随机变量之和的累积密度函数？

Question

我有许多已知但可能不同的概率分布（PDF）的随机变量。我需要在特定点 x 计算这些随机变量的和的累积分布函数（CDF）的值。

这包括两个步骤：

1. 计算随机变量PDF的卷积以获得PDF 他们的总和

2. 计算CDF（x），即摘要PDF从 -infinity 到 x

的积分

看起来第二步只能用数值方法完成。第一步可以在一些但不是所有情况下以分析方式完成。

例如，如果我有一个随机变量分布式日志 - 通常使用PDF：

PDF_1(x) = e^(-(log(x) -μ)^2/(2 sigma^2))/(sqrt(2 π) x sigma)

和另一个随机变量也正常分布，但使用不同的参数：

PDF_2(x) = e^(-(log(x) -μ)^2/(2 delta^2))/(sqrt(2 π) x delta)

然后无法通过分析计算其总和（Convolution[PDF_1, PDF_2]）的PDF。

假设分布尾部的任意截止点为1000，并假设参数μ，sigma amd delta是已知的：

PDF_sum(x) = NumericallyIntegrate (PDF_1(y) PDF_2(y - x) dy), y=0 to 1000

现在：

CDF(x) = NumericallyIntegrate (PDF_sum(y) dy), y=0 to x


如何在C ++中写下CDF计算的代码，以及你建议的库？