请建议一些算法来查找树中的节点，该节点与所有节点之间的最远节点的距离最小

Question

请建议一些算法来查找树中节点，其距离最远节点的距离在所有节点中最小。

它不是图表，也没有加权。

Answer 1

在树 T 中选择任意节点 v 。 运行BFS，将 v 作为 T 的根目录。 BFS输出 v 到 T 的所有其他节点的距离。

现在选择距离 v 最远的节点 u 。 再次运行BFS，将 u 作为根。 在新的距离输出上，找到距离 u 最远的节点 w 。

考虑 u 和 w 之间的路径。 这是树 T 中最长的路径。 路径中间的节点<树> T 的中心。

请注意，树中可能存在两个中心。如果是这样，他们就是邻居。

性能： O（n），其中 n 是 T 的节点数。

证明

声明：离某些节点 v 最远的一片叶子（ u ）位于最长的路径上

如果我们证明它，那么算法是正确的，因为它首先找到 u ，并且，因为它是最长路径的一端，所以使用DFS自己找到这条路径。

声明的证明：让我们使用retucto ad absurdum。假设 u --- r 是树中最长的路径;对于某些节点 v 既不 v --- u ，也 v --- r 是 v 的最长路径。相反，最长的路径是 v --- k 。我们有两个案例：

a） u --- r 和 v - k 有一个公共节点 o 。然后 v - o - u 和 v - o - r 比 u --- o --- k 短。然后 o --- r 比 o --- k 短。那么 u --- o --- r 不是图中最长的路径，因为 u --- o --- k 更长。这与我们的假设相矛盾。

b） u --- r 和 v - k 没有公共节点。但是，由于图形已连接，因此每条路径上都有 o1 和 o2 节点，因此它们之间的路径 o1 - o2 在这两个路径上不包含任何其他节点。与假设的矛盾与a）中的相同，但是使用 o1 - o2 而不仅仅是 o （事实上，指向 a >只是 b 的一个特例，其中 o1 = o2 ）。

这证明了声明，因此证明了算法的正确性。

（这是由Pavel Shved撰写的证明，原作者可能会更短。）

Answer 2

删除树叶。如果剩下2个以上的节点，请重复。剩下的节点（或2个节点）将是您要查找的节点。

为什么会这样：

节点位于树中最长路径P的中间。它们到任何节点的最大距离最多是路径长度的一半（否则它不会是最长的）。 P上的任何其他节点显然距离P的更远端的距离比找到的节点更远。不在n上的任何节点P将至少具有其最远的节点（距n到P上最近的节点的距离，比如说c）+（距离从c到P的更远端，所以再次比算法找到的节点更多。

Answer 3

您可以依次在每个节点上使用Dijkstra算法（http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm）来查找从该节点到每个其他节点的所有距离;扫描结果列表以获得到最远节点的距离。一旦你Dijkstra'd每个节点，另一次扫描将给你最小的最大距离。

Dijkstra通常被视为具有运行时O(v^2)，其中v是节点数;你将在每个节点运行一次，这将在一个简单的实现中增加O(v^3)的时间。您可以通过存储早期节点的Dijkstra运行结果并在以后的运行中将它们用作已知值来获得收益。

Answer 4

您可以将Johnson's algorithm用于稀疏图，但只能使用Floyd-Warshall algorithm，因为它实现起来很简单。

基本上你想要找到从每个节点到每个其他节点的距离，然后只是简单地搜索你想要的属性。

Answer 5

其他人在评论中说： 树是一个图 - 准确无关的非连通非图 - 见"Tree" (Graph theory)。