我有一个关于处理非常大数字的问题。我试图运行RSA算法，并假设我有512位数d和1024位数n。 decrypted_word = crypted_word ^ d mod n，isn＆＃39; t？但那些d和n都是非常大的数字！非标准变量类型可以处理我的512位数字。无处不在，rsa最后需要512位素数，但实际上我怎么能对这样的数字执行任何数学运算呢？
还有一个想法。我无法使用额外的库。我用java生成我的素数，使用BigInteger，但在我的系统上，我只有基本的变量类型，STRING256是最大的。
答案 0 :(得分：3)
假设您的最大整数大小为64位。在大多数语言中，字符串对于数学运算没有用，所以忽略字符串类型。现在选择一半大小的整数，即32位。这些数组可以解释为基数2 32 中数字的数字。有了这些，您就可以进行长addition和multiplication，就像您习惯使用基础10和笔和纸一样。在每个基本步骤中，您将两个32位数量组合在一起，以产生32位结果和可能的一些进位。如果您使用64位算术进行基本操作，则将这两者作为单个64位变量的一部分，然后您必须将其拆分为32位结果数字（通过位掩码或简单截断强制转换）和剩余进位（通过位移）。
分工更难。但是如果已知除数，那么你可以使用乘法来做division by constant。考虑一个例子：除以7. 7的倒数是1/7 = 0.142857 ....所以你可以乘以它来获得相同的结果。显然我们不想在这里做任何浮点数学。但你也可以简单地乘以14286然后省略结果的后六位数。如果您的股息足够小，这将是正确的结果。多么小？好吧，你将x / 7计算为x * 14286/100000，因此误差将是x *（14286/100000 - 1/7）= x / 350000，因此只要x <350000，你就安全了。只要RSA设置中的模数已知，即只要密钥对保持不变，就可以使用此方法进行整数除法，也可以使用它来计算余数。但请记住使用base 2 32 而不是base 10，并检查逆常数所需的位数。
您可能需要考虑另一种方法，即可更轻松地进行模数减少，即使n是可变的。您可以使用2 1024 -n到2 1024 -1，而不是将剩余部分表示为数字0到n-1。因此，如果您的初始数小于2 1024 -n，则添加n以转换为此新编码。这样做的好处是，您可以执行缩减步骤而不进行任何划分。 2 1024 相当于2 1024 -n在此设置中，因此基本模数减少将通过将一些数字拆分为其较低的1024位及其较高的余数来开始。较高的休息将右移1024位（这只是数组索引的变化），然后乘以2 1024 -n最后添加到下半部分。您必须这样做，直到您可以确定结果不超过1024位。这通常取决于n，所以对于固定的n你可以预先计算（对于大n我预期它在加法后是两个减少步骤但是在乘法之后是hree步骤，但是请仔细检查那个）而对于变量n你必须在运行时检查。在最后，您可以返回到通常的表示：如果结果不小于n，则减去n。如果n> 2 512 ，所有这些应该如所描述的那样起作用。如果不是，即如果模数的最高位为零，则可能需要进一步调整。 Haven没有想到这一点，因为到目前为止我只使用这种方法来获得接近2的幂的固定模量。
现在进行指数化。我非常建议你为此binary approach做。当计算x d 时，从x开始，x 2 = x * x，x 4 = x 2 * x 2 ，x 8 = ...，即计算所有2的幂指数。您还保留了一些初始化为一个的中间结果。在每个步骤中，如果在指数d中设置了相应的位，则将相应的功率乘以该中间结果。所以，让我们说你有d = 11。然后你计算1 * x 1 * x 2 * x 8 因为d = 11 = 1 + 2 + 8 = 1011 <子> 2 。这样，如果你的指数有512位，你最多只需要1024次乘法。其中一半用于二次幂幂，另一半用于合二权的幂。所有这一切中的每一次乘法都应该立即进行模数减少，以保持较低的内存要求。
请注意，上述取幂过程的速度将以这种简单的形式取决于实际设置的d中的位数。因此，这可能会打开side channel attack，这可能会让攻击者访问有关d的信息。但如果你担心侧通道攻击，那么你真的应该有专家来开发你的实现，因为我想可能会有更多我没有想到的。
答案 1 :(得分：0)
您可以编写一些可以在Microsoft下执行的宏，用于+， - ，x，/，modulo，x power y等函数，这些函数通常适用于任何小于十位或十万位的整数（实际 - 不是理论上的） - 限制CPU的内部存储器）。请注意，逻辑与小学时的逻辑完全相同。
例如为：P = 1819181918953471（2 ^ 8091）除法器 - 1，Q =（（2 ^ 8091） - 1）/ P，模（2 ^ 8043; Q）= 23322504995859448929764248735216052746508873363163717902048355336760940697615990871589728765508813434665732804031928045448582775940475126837880519641309018668592622533434745187004918392715442874493425444385093718605461240482371261514886704075186619878194235490396202667733422641436251739877125473437191453772352527250063213916768204844936898278633350886662141141963562157184401647467451404036455043333801666890925659608198009284637923691723589801130623143981948238440635691182121543342187092677259674911744400973454032209502359935457437167937310250876002326101738107930637025183950650821770087660200075266862075383130669519130999029920527656234911392421991471757068187747362854148720728923205534341236146499449910896530359729077300366804846439225483086901484209333236595803263313219725469715699546041162923522784170350104589716544529751439438021914727772620391262534105599688603950923321008883179433474898 0343182858891291155565414796707610403880753529341373268832872458218889994744210011557215665478139704968095559963138546311374907742975648819018776876281761067719182069454343508735096796381098878319322794706310976040189398557889905426270726260492817841528070976594852388385609583168882381372375485905284508903287800802868440387963251014889779885496395239880028250552864697402278423885387518709716916175431416581423130599343269248678461517497775752793103942965621915306028170145494646142538868438326459468664663629504846295542588557144017854729877278410408058162244136570364999591177012490284351913277572766442729447434792962687498289275655599514419451432696568663552103104822355202205802135334250162989939036157537143434560145774792254359150312258635519116051170293930856329473738726353301817188206698368301473129489660286829605182252139602188672078254178300162810361219593847073917183338928496652485128029266016762511997116989787253990489543258874103170604006204127972401297871588391649693824985377425 79233544463501470239575760940937130926062252501116458281610468726777710383038372260777522143500312913040987942762244940009811450966646527814576364565964518092955053720983465333258335601691477534154940549197873199633313223848155047098569827560014018412679602636286195283270106917742919383395056306107175539370483171915774381614222806960872813575048014729965930007408532959309197608469115633821869206793759322044599554551057140046156235152048507130125695763956991351137040435703946195318000567664233417843805257728。
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wpjo（willibrord oomen on academia.edu）