如何在python中正确拟合beta发行版？

Question

我正在尝试获得适合beta版本的正确方法。这不是一个现实世界的问题，我只是测试几种不同方法的效果，而这样做有些让我感到困惑。

这是我正在研究的python代码，其中我测试了3种不同的方法： 1＆gt;：使用时刻拟合（样本均值和方差）。 2>：通过最小化负对数似然来拟合（通过使用scipy.optimize.fmin（））。 3＆gt;：只需调用scipy.stats.beta.fit（）

from scipy.optimize import fmin
from scipy.stats import beta
from scipy.special import gamma as gammaf
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy


def betaNLL(param,*args):
    '''Negative log likelihood function for beta
    <param>: list for parameters to be fitted.
    <args>: 1-element array containing the sample data.

    Return <nll>: negative log-likelihood to be minimized.
    '''

    a,b=param
    data=args[0]
    pdf=beta.pdf(data,a,b,loc=0,scale=1)
    lg=numpy.log(pdf)
    #-----Replace -inf with 0s------
    lg=numpy.where(lg==-numpy.inf,0,lg)
    nll=-1*numpy.sum(lg)
    return nll

#-------------------Sample data-------------------
data=beta.rvs(5,2,loc=0,scale=1,size=500)

#----------------Normalize to [0,1]----------------
#data=(data-numpy.min(data))/(numpy.max(data)-numpy.min(data))

#----------------Fit using moments----------------
mean=numpy.mean(data)
var=numpy.var(data,ddof=1)
alpha1=mean**2*(1-mean)/var-mean
beta1=alpha1*(1-mean)/mean

#------------------Fit using mle------------------
result=fmin(betaNLL,[1,1],args=(data,))
alpha2,beta2=result

#----------------Fit using beta.fit----------------
alpha3,beta3,xx,yy=beta.fit(data)

print '\n# alpha,beta from moments:',alpha1,beta1
print '# alpha,beta from mle:',alpha2,beta2
print '# alpha,beta from beta.fit:',alpha3,beta3

#-----------------------Plot-----------------------
plt.hist(data,bins=30,normed=True)
fitted=lambda x,a,b:gammaf(a+b)/gammaf(a)/gammaf(b)*x**(a-1)*(1-x)**(b-1) #pdf of beta

xx=numpy.linspace(0,max(data),len(data))
plt.plot(xx,fitted(xx,alpha1,beta1),'g')
plt.plot(xx,fitted(xx,alpha2,beta2),'b')
plt.plot(xx,fitted(xx,alpha3,beta3),'r')

plt.show()

我遇到的问题是标准化过程（z=(x-a)/(b-a)），其中a和b分别是样本的最小值和最大值。

当我不进行标准化时，一切正常，不同的拟合方法之间存在细微差别，相当不错。

但是当我进行归一化时，这是我得到的结果图。

只有当时方法（绿线）看起来很好。

无论用什么参数生成随机数，scipy.stats.beta.fit（）方法（红线）总是统一的。

MLE（蓝线）失败。

因此，规范化似乎正在创造这些问题。但我认为在Beta发布版中包含x=0和x=1是合法的。如果给出一个真实世界的问题，是不是将样本观测值标准化以使其在[0,1]之间的第一步？在这种情况下，我应该如何拟合曲线？

Answer 1

问题在于beta.pdf()有时会为0和inf返回0 和 1。例如：

>>> from scipy.stats import beta
>>> beta.pdf(1,1.05,0.95)
/usr/lib64/python2.6/site-packages/scipy/stats/distributions.py:1165: RuntimeWarning: divide by zero encountered in power
  Px = (1.0-x)**(b-1.0) * x**(a-1.0)
inf
>>> beta.pdf(0,1.05,0.95)
0.0

您希望通过规范化流程在0和1处获得一个数据样本。虽然您对pdf为0的值“更正”，但您不会更正返回inf的值。为了解决这个问题，你可以删除所有不是有限的值：

def betaNLL(param,*args):
    """
    Negative log likelihood function for beta
    <param>: list for parameters to be fitted.
    <args>: 1-element array containing the sample data.

    Return <nll>: negative log-likelihood to be minimized.
    """

    a, b = param
    data = args[0]
    pdf = beta.pdf(data,a,b,loc=0,scale=1)
    lg = np.log(pdf)
    mask = np.isfinite(lg)
    nll = -lg[mask].sum()
    return nll

实际上你不应该像这样正常化，因为你实际上是从拟合中抛出两个数据点。

Answer 2

如果没有beta.fit的文档字符串，找到它会有点棘手，但是如果您知道要强制beta.fit的上限和下限，则可以使用kwargs {{1} }和floc。

我只使用fscale方法运行代码，但有和没有floc和fscale kwargs。此外，我使用参数作为整数和浮动检查它，以确保不会影响您的答案。它没有（在这个测试中。我不能说它是否永远不会。）

beta.fit

总之，似乎这不会改变您的数据（通过规范化）或丢弃数据。我只是认为应该注意使用它时应该小心。在您的情况下，您知道限制为0和1，因为您从定义的分布中得到的数据介于0和1之间。在其他情况下，限制可能是已知的，但如果它们未知，>>> from scipy.stats import beta >>> import numpy >>> def betaNLL(param,*args): '''Negative log likelihood function for beta <param>: list for parameters to be fitted. <args>: 1-element array containing the sample data. Return <nll>: negative log-likelihood to be minimized. ''' a,b=param data=args[0] pdf=beta.pdf(data,a,b,loc=0,scale=1) lg=numpy.log(pdf) #-----Replace -inf with 0s------ lg=numpy.where(lg==-numpy.inf,0,lg) nll=-1*numpy.sum(lg) return nll >>> data=beta.rvs(5,2,loc=0,scale=1,size=500) >>> beta.fit(data) (5.696963536654355, 2.0005252702837009, -0.060443307228404922, 1.0580278414086459) >>> beta.fit(data,floc=0,fscale=1) (5.0952451826831462, 1.9546341057106007, 0, 1) >>> beta.fit(data,floc=0.,fscale=1.) (5.0952451826831462, 1.9546341057106007, 0.0, 1.0) 将提供他们。在这种情况下，未指定0和1的限制，beta.fit将其计算为beta.fit和loc=-0.06。

Answer 3

我使用了doi：10.1080 / 00949657808810232中提出的方法来设置beta参数：

from scipy.special import psi
from scipy.special import polygamma
from scipy.optimize import root_scalar
from numpy.random import beta
import numpy as np

def ipsi(y):
    if y >= -2.22:
        x = np.exp(y) + 0.5
    else:
        x = - 1/ (y + psi(1))  
    for i in range(5):
        x = x - (psi(x) - y)/(polygamma(1,x))
    return x
        
#%%
# q satisface
# psi(q) - psi(ipsi(lng1 - lng2 + psi(q)) + q) -lng2 = 0 
# O sea, busco raíz de 
# f(q) = psi(q) - psi(ipsi(lng1 - lng2 + psi(q)) + q) -lng2
# luego:
# p = ipsi(lng1 - lng2 + psi(q))
def f(q,lng1,lng2):
    return psi(q) - psi(ipsi(lng1 - lng2 + psi(q)) + q) -lng2

#%%
def ml_beta_pq(sample):
    lng1 = np.log(sample).mean()
    lng2 = np.log(1-sample).mean()
    def g(q):
        return f(q,lng1,lng2)
    q=root_scalar(g,x0=1,x1=1.1).root
    p = ipsi(lng1 - lng2 + psi(q))
    return p, q

#%%
p = 2
q = 5
n = 1500
sample = beta(p,q,n)
ps,qs = ml_beta_pq(sample) #s de sombrero

print(f'Estimación de parámetros de una beta({p}, {q}) \na partir de una muestra de tamaño n = {n}')
print(f'\nn ={n:5d} |   p   |   q')
print(f'---------+-------+------')
print(f'original | {p:2.3f} | {q:2.3f}')
print(f'estimado | {ps:2.3f} | {qs:2.3f}')