计算数字中最大素因子的最佳方法是什么？
我认为效率最高的是：
我基于这个假设，因为它更容易计算小素因子。这是对的吗？我应该研究哪些其他方法？
编辑：我现在意识到，如果有超过2个素数因素，我的方法是徒劳的，因为当结果是两个其他素数的乘积时，步骤2失败，因此需要递归算法。
再次编辑：现在我已经意识到这仍然有效，因为最后找到的素数必须是最高的，因此对步骤2的非素数结果的任何进一步测试将导致更小的素数
答案 0 :(得分：136)
这是我所知道的最好的算法（在Python中）
def prime_factors(n):
"""Returns all the prime factors of a positive integer"""
factors = []
d = 2
while n > 1:
while n % d == 0:
factors.append(d)
n /= d
d = d + 1
return factors
pfs = prime_factors(1000)
largest_prime_factor = max(pfs) # The largest element in the prime factor list
在最坏的情况下（当输入是素数时），上述方法在O(n)中运行。
修改
以下是评论中建议的O(sqrt(n))版本。这是代码，再一次。
def prime_factors(n):
"""Returns all the prime factors of a positive integer"""
factors = []
d = 2
while n > 1:
while n % d == 0:
factors.append(d)
n /= d
d = d + 1
if d*d > n:
if n > 1: factors.append(n)
break
return factors
pfs = prime_factors(1000)
largest_prime_factor = max(pfs) # The largest element in the prime factor list
答案 1 :(得分：132)
实际上，有几种更有效的方法可以找到大数的因素（对于较小的因子，试验分工合理地工作得很好）。
如果输入数字具有非常接近其平方根的两个因子，则一种非常快的方法称为Fermat factorisation。它利用身份N =（a + b）（a - b）= a ^ 2 - b ^ 2，易于理解和实现。不幸的是，它一般不是很快。
将最长100位数的因子分解的最有名方法是Quadratic sieve。作为奖励，部分算法可以通过并行处理轻松完成。
我听说的另一种算法是Pollard's Rho algorithm。它一般不如Quadratic Sieve有效，但似乎更容易实现。
一旦你决定如何将一个数字分成两个因子，这是我能想到的最快的算法，找到一个数字的最大素数因子：
创建一个最初存储号码本身的优先级队列。每次迭代，您从队列中删除最高的数字，并尝试将其分成两个因子（当然，不允许1成为这些因素之一）。如果此步骤失败，则数字为素数，您就有了答案！否则，将两个因子添加到队列中并重复。
答案 2 :(得分：18)
我的答案基于Triptych，但在其上有很多改进。它基于超过2和3的事实，所有素数都是6n-1或6n + 1的形式。
var largestPrimeFactor;
if(n mod 2 == 0)
{
largestPrimeFactor = 2;
n = n / 2 while(n mod 2 == 0);
}
if(n mod 3 == 0)
{
largestPrimeFactor = 3;
n = n / 3 while(n mod 3 == 0);
}
multOfSix = 6;
while(multOfSix - 1 <= n)
{
if(n mod (multOfSix - 1) == 0)
{
largestPrimeFactor = multOfSix - 1;
n = n / largestPrimeFactor while(n mod largestPrimeFactor == 0);
}
if(n mod (multOfSix + 1) == 0)
{
largestPrimeFactor = multOfSix + 1;
n = n / largestPrimeFactor while(n mod largestPrimeFactor == 0);
}
multOfSix += 6;
}
我最近写了一篇blog article来解释这个算法的工作原理。
我敢说，一种不需要进行素数测试（并且没有筛子构造）的方法比使用那些方法的方法运行得更快。如果是这种情况，这可能是这里最快的算法。
答案 3 :(得分：7)
JavaScript代码：
'option strict';
function largestPrimeFactor(val, divisor = 2) {
let square = (val) => Math.pow(val, 2);
while ((val % divisor) != 0 && square(divisor) <= val) {
divisor++;
}
return square(divisor) <= val
? largestPrimeFactor(val / divisor, divisor)
: val;
}
用法示例：
let result = largestPrimeFactor(600851475143);
答案 4 :(得分：4)
//this method skips unnecessary trial divisions and makes
//trial division more feasible for finding large primes
public static void main(String[] args)
{
long n= 1000000000039L; //this is a large prime number
long i = 2L;
int test = 0;
while (n > 1)
{
while (n % i == 0)
{
n /= i;
}
i++;
if(i*i > n && n > 1)
{
System.out.println(n); //prints n if it's prime
test = 1;
break;
}
}
if (test == 0)
System.out.println(i-1); //prints n if it's the largest prime factor
}
答案 5 :(得分：4)
最简单的解决方案是一对相互递归的函数。
第一个函数生成所有素数：
第二个函数按递增顺序返回给定数字n的素因子。
n因子的数字。 n的最大素数因子是第二个函数给出的最后一个数字。
此算法需要延迟列表或具有按需调用语义的语言（或数据结构）。
为了澄清，这里是Haskell中上面的一个（低效）实现：
import Control.Monad
-- All the primes
primes = 2 : filter (ap (<=) (head . primeFactors)) [3,5..]
-- Gives the prime factors of its argument
primeFactors = factor primes
where factor [] n = []
factor xs@(p:ps) n =
if p*p > n then [n]
else let (d,r) = divMod n p in
if r == 0 then p : factor xs d
else factor ps n
-- Gives the largest prime factor of its argument
largestFactor = last . primeFactors
让这个更快只是更聪明地检测哪些数字是n的素数和/或因子，但算法保持不变。
答案 6 :(得分：4)
所有数字都可以表示为素数的乘积，例如：
102 = 2 x 3 x 17
712 = 2 x 2 x 2 x 89
您可以通过简单地从2开始并继续划分直到结果不是您的数字的倍数来找到这些：
712 / 2 = 356 .. 356 / 2 = 178 .. 178 / 2 = 89 .. 89 / 89 = 1
使用这种方法你不必实际计算任何素数：它们都是素数，基于你已经使用所有前面的数字尽可能地将数字分解的事实。
number = 712;
currNum = number; // the value we'll actually be working with
for (currFactor in 2 .. number) {
while (currNum % currFactor == 0) {
// keep on dividing by this number until we can divide no more!
currNum = currNum / currFactor // reduce the currNum
}
if (currNum == 1) return currFactor; // once it hits 1, we're done.
}
答案 7 :(得分：4)
类似@Triptych的答案也有所不同。在此示例中，不使用列表或字典。代码用Ruby编写
def largest_prime_factor(number)
i = 2
while number > 1
if number % i == 0
number /= i;
i -= 1
end
i += 1
end
return i
end
largest_prime_factor(600851475143)
# => 6857
答案 8 :(得分：2)
n = abs(number);
result = 1;
if (n mod 2 == 0) {
result = 2;
while (n mod 2 = 0) n /= 2;
}
for(i=3; i<sqrt(n); i+=2) {
if (n mod i == 0) {
result = i;
while (n mod i = 0) n /= i;
}
}
return max(n,result)
有一些模数测试是超级的，因为如果所有因子2和3都已被删除，则n永远不会被除以6。你只能允许i的素数，这里有几个其他答案。
你实际上可以在这里交织Eratosthenes的筛子：
答案 9 :(得分：2)
我知道这不是一个快速的解决方案。发布希望更容易理解缓慢的解决方案。
public static long largestPrimeFactor(long n) {
// largest composite factor must be smaller than sqrt
long sqrt = (long)Math.ceil(Math.sqrt((double)n));
long largest = -1;
for(long i = 2; i <= sqrt; i++) {
if(n % i == 0) {
long test = largestPrimeFactor(n/i);
if(test > largest) {
largest = test;
}
}
}
if(largest != -1) {
return largest;
}
// number is prime
return n;
}
答案 10 :(得分：1)
Python迭代方法，从数字
中删除所有素数因子def primef(n):
if n <= 3:
return n
if n % 2 == 0:
return primef(n/2)
elif n % 3 ==0:
return primef(n/3)
else:
for i in range(5, int((n)**0.5) + 1, 6):
#print i
if n % i == 0:
return primef(n/i)
if n % (i + 2) == 0:
return primef(n/(i+2))
return n
答案 11 :(得分：1)
I am using algorithm which continues dividing the number by it's current Prime Factor.
My Solution in python 3 :
def PrimeFactor(n):
m = n
while n%2==0:
n = n//2
if n == 1: # check if only 2 is largest Prime Factor
return 2
i = 3
sqrt = int(m**(0.5)) # loop till square root of number
last = 0 # to store last prime Factor i.e. Largest Prime Factor
while i <= sqrt :
while n%i == 0:
n = n//i # reduce the number by dividing it by it's Prime Factor
last = i
i+=2
if n> last: # the remaining number(n) is also Factor of number
return n
else:
return last
print(PrimeFactor(int(input())))
Input : 10
Output : 5
Input : 600851475143
Output : 6857
答案 12 :(得分：0)
由“ James Wang”在网络上找到了该解决方案
public static int getLargestPrime( int number) {
if (number <= 1) return -1;
for (int i = number - 1; i > 1; i--) {
if (number % i == 0) {
number = i;
}
}
return number;
}
答案 13 :(得分：0)
使用筛子的底料：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10001
typedef long long ll;
bool visit[N];
vector<int> prime;
void sieve()
{
memset( visit , 0 , sizeof(visit));
for( int i=2;i<N;i++ )
{
if( visit[i] == 0)
{
prime.push_back(i);
for( int j=i*2; j<N; j=j+i )
{
visit[j] = 1;
}
}
}
}
void sol(long long n, vector<int>&prime)
{
ll ans = n;
for(int i=0; i<prime.size() || prime[i]>n; i++)
{
while(n%prime[i]==0)
{
n=n/prime[i];
ans = prime[i];
}
}
ans = max(ans, n);
cout<<ans<<endl;
}
int main()
{
ll tc, n;
sieve();
cin>>n;
sol(n, prime);
return 0;
}
答案 14 :(得分：0)
以下C ++算法并不是最好的算法，但它适用于数十亿以下且速度非常快的数据
#include <iostream>
using namespace std;
// ------ is_prime ------
// Determines if the integer accepted is prime or not
bool is_prime(int n){
int i,count=0;
if(n==1 || n==2)
return true;
if(n%2==0)
return false;
for(i=1;i<=n;i++){
if(n%i==0)
count++;
}
if(count==2)
return true;
else
return false;
}
// ------ nextPrime -------
// Finds and returns the next prime number
int nextPrime(int prime){
bool a = false;
while (a == false){
prime++;
if (is_prime(prime))
a = true;
}
return prime;
}
// ----- M A I N ------
int main(){
int value = 13195;
int prime = 2;
bool done = false;
while (done == false){
if (value%prime == 0){
value = value/prime;
if (is_prime(value)){
done = true;
}
} else {
prime = nextPrime(prime);
}
}
cout << "Largest prime factor: " << value << endl;
}
答案 15 :(得分：0)
这是我在 Clojure 中的尝试。只走 prime? 的赔率和素数的素数，即。 sieve。使用惰性序列有助于在需要之前生成值。
(defn prime?
([n]
(let [oddNums (iterate #(+ % 2) 3)]
(prime? n (cons 2 oddNums))))
([n [i & is]]
(let [q (quot n i)
r (mod n i)]
(cond (< n 2) false
(zero? r) false
(> (* i i) n) true
:else (recur n is)))))
(def primes
(let [oddNums (iterate #(+ % 2) 3)]
(lazy-seq (cons 2 (filter prime? oddNums)))))
;; Sieve of Eratosthenes
(defn sieve
([n]
(sieve primes n))
([[i & is :as ps] n]
(let [q (quot n i)
r (mod n i)]
(cond (< n 2) nil
(zero? r) (lazy-seq (cons i (sieve ps q)))
(> (* i i) n) (when (> n 1) (lazy-seq [n]))
:else (recur is n)))))
(defn max-prime-factor [n]
(last (sieve n)))
答案 16 :(得分：0)
猜猜，除了执行分解之外没有直接的方法，就像上面的例子一样，即
在迭代中，您确定一个数 N 的“小”因子 f，然后继续简化问题“找到 N' 的最大素因子” :=N/f 带有候选因子 >=f ".
从 f 的特定大小开始，如果您对减少的 N' 进行素性测试，则预期的搜索时间会更短，以防万一，您的 N' 已经是初始 N 的最大质因数。
答案 17 :(得分：0)
这是我快速计算最大素因子的方法。
它基于以下事实：修改后的x不包含非素因子。为实现这一目标，我们会在找到因素时立即划分x。然后，唯一剩下的就是返回最大因子。它已经是素数了。
代码（Haskell）：
f max' x i | i > x = max'
| x `rem` i == 0 = f i (x `div` i) i -- Divide x by its factor
| otherwise = f max' x (i + 1) -- Check for the next possible factor
g x = f 2 x 2
答案 18 :(得分：0)
这是我在c＃中的尝试。最后一次打印输出是该数字的最大主要因素。我检查了它的确有效。
namespace Problem_Prime
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
/*
The prime factors of 13195 are 5, 7, 13 and 29.
What is the largest prime factor of the number 600851475143 ?
*/
long x = 600851475143;
long y = 2;
while (y < x)
{
if (x % y == 0)
{
// y is a factor of x, but is it prime
if (IsPrime(y))
{
Console.WriteLine(y);
}
x /= y;
}
y++;
}
Console.WriteLine(y);
Console.ReadLine();
}
static bool IsPrime(long number)
{
//check for evenness
if (number % 2 == 0)
{
if (number == 2)
{
return true;
}
return false;
}
//don't need to check past the square root
long max = (long)Math.Sqrt(number);
for (int i = 3; i <= max; i += 2)
{
if ((number % i) == 0)
{
return false;
}
}
return true;
}
}
}
答案 19 :(得分：0)
使用C ++中的递归计算数字的最大素数因子。代码的工作原理如下：
int getLargestPrime(int number) {
int factor = number; // assumes that the largest prime factor is the number itself
for (int i = 2; (i*i) <= number; i++) { // iterates to the square root of the number till it finds the first(smallest) factor
if (number % i == 0) { // checks if the current number(i) is a factor
factor = max(i, number / i); // stores the larger number among the factors
break; // breaks the loop on when a factor is found
}
}
if (factor == number) // base case of recursion
return number;
return getLargestPrime(factor); // recursively calls itself
}
答案 20 :(得分：0)
#python implementation
import math
n = 600851475143
i = 2
factors=set([])
while i<math.sqrt(n):
while n%i==0:
n=n/i
factors.add(i)
i+=1
factors.add(n)
largest=max(factors)
print factors
print largest
答案 21 :(得分：-1)
使用Java：
对于int值：
public static int[] primeFactors(int value) {
int[] a = new int[31];
int i = 0, j;
int num = value;
while (num % 2 == 0) {
a[i++] = 2;
num /= 2;
}
j = 3;
while (j <= Math.sqrt(num) + 1) {
if (num % j == 0) {
a[i++] = j;
num /= j;
} else {
j += 2;
}
}
if (num > 1) {
a[i++] = num;
}
int[] b = Arrays.copyOf(a, i);
return b;
}
对于long值：
static long[] getFactors(long value) {
long[] a = new long[63];
int i = 0;
long num = value;
while (num % 2 == 0) {
a[i++] = 2;
num /= 2;
}
long j = 3;
while (j <= Math.sqrt(num) + 1) {
if (num % j == 0) {
a[i++] = j;
num /= j;
} else {
j += 2;
}
}
if (num > 1) {
a[i++] = num;
}
long[] b = Arrays.copyOf(a, i);
return b;
}
答案 22 :(得分：-1)
首先计算存储素数的列表，例如2 3 5 7 11 13 ...
每当你对一个数字进行分解时，使用Triptych的实现，但是迭代这个素数列表而不是自然整数。
答案 23 :(得分：-1)
在我看来，所给出的算法的第二步并不是那种有效的方法。你没有合理的期望它是最好的。
此外，之前的答案暗示了Eratosthenes的筛子是完全错误的。我刚写了两个程序来考虑123456789.一个基于Sieve，一个是基于以下内容：
1) Test = 2
2) Current = Number to test
3) If Current Mod Test = 0 then
3a) Current = Current Div Test
3b) Largest = Test
3c) Goto 3.
4) Inc(Test)
5) If Current < Test goto 4
6) Return Largest
此版本比Sieve快90倍。
事实上，在现代处理器上，操作类型远远少于操作数量，更不用说上面的算法可以在缓存中运行，而Sieve则不能。 Sieve使用大量操作来识别所有复合数字。另请注意，我识别出的因素会减少必须测试的空间。
答案 24 :(得分：-2)
这可能并不总是更快，但更乐观的是你找到了一个重要的除数：
N是您的号码return(N) Sqrt(N) N is divisible by Prime则Return(Prime) 编辑：在第3步中，您可以使用Eratosthenes的筛子或阿特金斯的筛子或任何您喜欢的筛子，但筛子本身并不会找到最重要的因素。 （这就是为什么我不选择SQLMenace的帖子作为正式答案......）
答案 25 :(得分：-3)
我认为将所有可能的素数存储在小于n的位置并且只是遍历它们以找到最大的分数是很好的。你可以从prime-numbers.org获得素数。
当然我认为你的号码不是太大了：）
答案 26 :(得分：-3)
这是@ Triptych作为发生器提供的相同功能，它也略有简化。
def primes(n):
d = 2
while (n > 1):
while (n%d==0):
yield d
n /= d
d += 1
然后可以使用以下命令找到最大素数：
n= 373764623
max(primes(n))
以及使用以下内容找到的因素列表：
list(primes(n))
答案 27 :(得分：-3)
不是最快但有效！
static bool IsPrime(long num)
{
long checkUpTo = (long)Math.Ceiling(Math.Sqrt(num));
for (long i = 2; i <= checkUpTo; i++)
{
if (num % i == 0)
return false;
}
return true;
}
答案 28 :(得分：-6)
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
#include<math.h>
#include <time.h>
factor(long int n)
{
long int i,j;
while(n>=4)
{
if(n%2==0) { n=n/2; i=2; }
else
{ i=3;
j=0;
while(j==0)
{
if(n%i==0)
{j=1;
n=n/i;
}
i=i+2;
}
i-=2;
}
}
return i;
}
void main()
{
clock_t start = clock();
long int n,sp;
clrscr();
printf("enter value of n");
scanf("%ld",&n);
sp=factor(n);
printf("largest prime factor is %ld",sp);
printf("Time elapsed: %f\n", ((double)clock() - start) / CLOCKS_PER_SEC);
getch();
}