Question

给定字符串 S ，我想知道是否存在非重叠的子串 A ， B 和 C < / em>在 S 中，因此当子串被解释为十进制数时，等式 A + B = C 成立。

示例：对于S = 17512，答案是肯定的，因为12 + 5 = 17持有。

这不是一个功课问题，我试图解决这个问题，建立一个后缀数组

17512

7512

512

12

2

然后我意识到给定132,1 + 2 = 3 在选择中需要其他形式的排列吗？

你如何以有效的方式解决这个问题？

Answer 1

让 S 为数字的十进制表示。如果 n = | S | 足够小（<500左右），则可以使用以下算法：

让我们从等式A + B = C（其中我们假设w.l.o.g.A> B）中枚举A和C.我们知道它们需要大小相同（加/减一位），因此枚举可能性是一个三次运算（有 O（n ³）候选）。

对于每个候选对（A，C），我们需要检查B = C - A是否在字符串中并且不与任何 A 重叠或 C 子串。我们可以使用基数10中的算术计算线性时间的差异。

棘手的部分是检查 B 是否是不重叠 A 或 C 的子字符串。 A 和 C 将字符串拆分为3个部分：

S = xAyCz

如果我们巧妙地枚举它们，固定的起始位置和减小的大小，我们可以保持部分x的suffix automata和部分y和z的反转。

现在我们可以检查线性时间是否 B = C - A （或其反向）存在于三个部分之一中。

此方法的时间复杂度：Θ（n ⁴）。

这有一个变化，稍微复杂一点，但更快（感谢Evgeny指出）：

创建输入字符串的后缀树。每个节点代表一个子字符串。在每个节点中存储字符串中出现子字符串的位置的平衡二叉搜索树。您可能需要持久树来节省时间和空间。
枚举A和C，但这次从最低有效数字（最右边的一端）开始。
从右到左生长A和C时，跟踪B = C - A的结果。它也会从最不重要的数字增长到最重要的数字。在后缀树中搜索B。您可以一次执行此操作，因此您可以将A和C增长1位数，更新B并在O（1）的后缀树中找到它。
如果B为正，则在BBST位置进行三个范围查询，以检查B是否出现在字符串中且不与A或C重叠

运行时： O（n ³ log n）。

更新关于需要使用所有字符的简化版本：

我们首先意识到，如果我们在基数10工作，我们可以在线性时间内对字符串的子串进行算术。

现在我们想要找到分裂点 a＆lt; b ，这样你的三个子串就是 A = s ₁ ... s _a ， B = s < sub> a + 1 ... s _b 和 C = s _{b + 1} ... s _n

我们可以证明 a 和 b 只有一定数量的候选者，因为所有三个部分的大小必须大致相同才能保持。

使用任意精度算术，我们可以轻松地尝试所有候选对（a，b），并且对于每个候选对，找到 M = max（A，B，C）。然后检查 M 是否是其他两个数字的总和。

总时间复杂度：Θ（n）。

Answer 2

如果你被允许以原始给定顺序从数字的数字子集形成子串，只要你的数字在2个加数和总和中没有重叠，那么我相信你的问题是NP完全的。我认为如果给出目标总和，并且你所要做的就是找到两个非重叠的数字子串，这些数字加起来就是目标总和。但是我还没有NP完整性的证据。

如果您的数字子串必须是连续的，那么情况要好得多。您可以在O（n ^ 6）时间内搜索2个加数和1个和的所有组合作为数字的起点和终点，当然可以进行改进，例如，对于给定的目标总和，您只需要搜索一对子串，这些子串的最大长度加上目标总和的长度正好或减去1.

更新：如果你需要找到3个非重叠的连续子串，它们给你求和公式，那么你可以散列所有O（n ^ 2）子串值，然后散列所有求和对的总和，看看是否目标总和在您的哈希表中。如果是这样，那么您只需要检查加数开始和结束索引是否与summand索引重叠。最坏情况时间为O（n ^ 6），随机输入的预期运行时间为O（n ^ 5）。

Answer 3

假设（在你的两个例子中）你的3个子串是连续的，非重叠的，非负的，并且它们之间覆盖整个输入，那么就有一个二次时间解决方案。

首先（暂时）假设订单是aaabbbcc，其中aaa + bbb = ccc，aaa＆gt; bbb。
ccc的长度必须与aaa相同或最多为一个。
所以aaa（len_a）的长度必须介于n / 3和n / 2之间。
鉴于len_a，len_c有两种选择--- len_a或len_a + 1.
鉴于这些，bbb只有一个可能的长度。 len_b = n-len_a = len_c
测试这2个（n / 2 - n / 3）= n / 3个案例。
由于字符串到int的转换，每个测试都是O（n）成本。

对两个排列重复上述分析（aaa> bbb v bbb> = aaa），乘以三个排列（aaa + bbb = ccc v aaa + ccc = bbb v bbb + ccc = aaa）

您可以改进测试以仅检查三个数字中最重要（或最不重要）的i数字，如果总和不可能则提前返回。假设随机分布的数字，您可能会显示此类测试的预期运行时间是不变的。这会将整个算法转换为O（n）运行时。

给出一个数字，检查数字是否形成一个带加法的方程？

3 个答案: