甚至斐波纳契数的总和高达400万

Question

我用来尝试解决这个问题的方法很有效，但我认为它非常有效，因为只要我输入一个太大的数字，它就不会工作。

def fib_even(n):
    fib_even = []
    a, b = 0, 1
    for i in range(0,n):
        c = a+b
        if c%2 == 0:
            fib_even.append(c)
            a, b = b, a+b
return fib_even

def sum_fib_even(n):
    fib_evens = fib_even(n)
    s = 0
    for i in fib_evens:
        s = s+i
    return s

n = 4000000
answer = sum_fib_even(n)
print answer

例如，这不适用于4000000，但适用于400.是否有更有效的方法？

Answer 1

没有必要计算所有斐波纳契数。

注意：我使用的是斐波那契序列的更标准的初始值F [0] = 0，F [1] = 1。项目Euler＃2以F [2] = 1开始其序列，F [3] = 2，F [4] = 3，....对于这个问题，两种选择的结果都相同。

所有斐波纳契数的总和（作为预热）

递归方程

F[n+1] = F[n] + F[n-1]

也可以读作

F[n-1] = F[n+1] - F[n]

或

F[n] = F[n+2] - F[n+1]

将n从1总和加到N（记住F [0] = 0，F [1] = 1）在左边给出斐波那契数的总和，在右边给出一个伸缩总和，其中所有的内部条款取消

sum(n=1 to N) F[n] = (F[3]-F[2]) + (F[4]-F[3]) + (F[5]-F[4])
                     + ... + (F[N+2]-F[N+1])
                   = F[N+2] - F[2] 

因此，对于使用数字N = 4,000,000的总和来说，只需计算

F[4,000,002] - 1

用一种计算单个Fibonacci数的超快方法。减半和平方，相当于迭代矩阵的取幂，或基于黄金比率的指数公式（以必要的精度计算）。

由于大约每20个斐波那契数字你获得4个额外的数字，最终结果将包括大约800000个数字。更好地使用可以包含所有数据类型的数据类型。

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偶数斐波纳契数的总和

只检查前10或20个斐波那契数字就会发现所有偶数成员的指数均为3 * k。通过减去两次连续的递归来检查

F[n+3]=2*F[n+2]-F[n]

所以F [n + 3]总是与F [n]具有相同的奇偶性。投入更多计算可以发现成员三个指数的递归分开为

F[n+3] = 4*F[n] + F[n-3]

设置

S = sum(k=1 to K) F[3*k]

将n = 3 * k上的递归求和

F[3*K+3]+S-F[3] = 4*S + (-F[3*K]+S+F[0])

或

4*S = (F[3*K]+F[3*K]) - (F[3]+F[0]) = 2*F[3*K+2]-2*F[2]

因此所需的总和具有公式

S = (F[3*K+2]-1)/2

使用黄金配给公式的快速计算揭示了N应该是什么，以便F [N]正好在边界之下，因此K = N div 3应该是，

N = Floor(  log( sqrt(5)*Max )/log( 0.5*(1+sqrt(5)) )  )

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将欧拉问题简化为一个简单的公式

在原始问题中，人们发现N = 33，因此总和是

S = (F[35]-1)/2;

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减少问题和后果中的问题

在问题中采用错误表示的问题，N = 4,000,000，因此K = 1,333,333，总和

(F[1,333,335]-1)/2

仍然有大约533,400位数字。是的，biginteger类型可以处理这些数字，只需要时间来计算它们。

如果以60行80个数字的格式打印，这个数字可以填充112张纸，只是为了了解输出的样子。

Answer 2

没有必要存储所有中间Fibonacci数字，也许存储会导致性能问题。