我已经实现了一个方法(Normal.compute()
)来计算两个正常函数的总和:
public class Normal {
private double mu1, mu2;
private double sigma1, sigma2;
public double compute(double x, double y) {
return normal(x,mu1,sigma1) + normal(y,mu2,sigma2);
}
public double normal(double x, double mu, double sigma) {
return Math.pow(Math.E, (-1*Math.pow((x-mu),2)) / (2* Math.pow(sigma,2))
/
sigma * Math.sqrt(2*Math.PI)
);
}
public static double distance(double ax1, double ax2, double bx1, double bx2) {
return Math.sqrt(Math.pow((bx1-ax1),2)+Math.pow((bx2-ax2),2));
}
}
现在修正了一个值z
和一个点(x1,y1)
,我将检索Normal.compute() = z
值最近的(就距离而言)点。
最近的地方由distance()
计算。
所以我需要的是计算反函数并最小化距离,但我不知道它是如何编程的。
public double[] inverseNearest(double z, double x1, double x2) {
// K = Set of (x,y) such that compute(x,y) = z
// return argmin { distance(xk, yk, x1, x2) for each (xk, yk) in K }
}
我尝试过使用apache常用的数学或小马,但它们似乎没有帮助。
这不是练习,所以如果已经完成了某些工作,我可以使用库。
答案 0 :(得分:2)
您可以将此短语称为优化嵌套在查找根目录中的函数。
优化问题:找到max_t normal.compute(foo(t))
其中foo(t)
参数化以r
为中心的半径为(x1, y1)
的圆,即foo(t) = [x1 + r cos(t), y1 + r sin(t)]
。 (如果max
小于normal.compute(x1, y1)
,请使用z
。否则请使用min
。)
找根问题:找到r
,以便优化问题的解决方案= z
。
通过查看normal.compute(x, y)
的等高线图并考虑(x1, y1)
周围的圆圈,我得到了这个想法。当您在圆圈中走动时,normal.compute
的值会上下移动。您希望圆圈的最高点或最低点恰好为z
。希望这会有所帮助。
/* solve problem stated in:
* http://stackoverflow.com/questions/22099321/calculate-inverse-of-normal-function-that-minimizes-another-function
*
* copyright 2014 by Robert Dodier
* I release this work under terms of the GNU General Public License
*
* how to:
*
* (1) assign values to m1, s1, m2, s2, x1, y1, and z0
* (2) batch("foo.mac");
*
* example:
*
* [m1, s1, m2, s2, x1, y1, z0] : [-2, 1.8, 1.3, 2.4, 1.82, -0.24, 0.3];
* batch ("foo.mac");
* => [x0, y0] = [- .4249300563696112, 0.172672148095035]
*
* after that, try:
*
* set_plot_option ([same_xy, true]);
* load (implicit_plot);
* implicit_plot ([F (x, y) = z0, (x - x1)^2 + (y - y1)^2 = r0^2], [x, -5, 5], [y, -5, 5]), numer;
*
* should show z0 contour just touching the circle of radius r0 centered on [x1, y1]
*/
load (distrib);
ratprint : false;
/* m1, s1, m2, s2 must be assigned values */
F (x, y) := pdf_normal (x, m1, s1) + pdf_normal (y, m2, s2);
/* x1, y1 must be assigned values */
G (r, x1, y1) := fmax_circular (lambda ([t], F (x1 + r * cos (t), y1 + r * sin (t))));
fmax_circular (f) := lmax (map (f, fargmax_circular (f)));
fargmax_circular (f) := block ([n : 17, u0, u2],
map (f, makelist (i * 2 * float (%pi) / n, i, 0, n)),
ev (sublist_indices (%%, lambda ([u], u = u_max)), u_max = lmax (%%)),
map (lambda ([i], [u0, u2] : [(i - 1) * 2 * float (%pi) / n, (i + 1) * 2 * float (%pi) / n], fargmax1 (f, u0, u2)), %%));
/* golden section search */
fargmax1 (f, u0, u2) := block ([tol : 1e-2, u1 : u0 + (u2 - u0) / float (%phi)],
while u2 - u0 > tol
do block ([x],
if u2 - u1 > u1 - u0
then x : u1 + (1 - 1/float (%phi)) * (u2 - u1)
else x : u1 - (1 - 1/float (%phi)) * (u1 - u0),
if f(x) > f(u1)
then /* accept interval containing x */
if u2 - u1 > u1 - u0
then [u0, u1, u2] : [u1, x, u2]
else [u0, u1, u2] : [u0, x, u1]
else /* reject interval containing x */
if u2 - u1 > u1 - u0
then [u0, u1, u2] : [u0, u1, x]
else [u0, u1, u2] : [x, u1, u2]),
u0 + (u1 - u0) / 2);
/* z0 must be assigned a value */
r0 : find_root (lambda ([r], G (r, x1, y1) - z), r, 0.001, 5), z = z0, numer;
/* fargmax_circular returns a list -- assume it's just one element
* not guaranteed to work -- [t0] : ... fails when rhs has 2 or more elements, oh well
*/
[t0] : fargmax_circular (lambda ([t], F (x1 + r0 * cos (t), y1 + r0 * sin (t))));
/* [x0, y0] is the point on z0 contour of F, nearest to [x1, y1]
* r0 is distance from [x1, y1] to [x0, y0]
*/
[x0, y0] : [x1 + r0 * cos (t0), y1 + r0 * sin (t0)];
F (x0, y0), numer; /* should be equal to z0 */
答案 1 :(得分:0)
normal(x,mu1,sigma1) + normal(y,mu2,sigma2)
这不是计算两个正态分布随机变量之和的概率的正确方法。如果您的x和y是从两个独立的正态分布中绘制出来的,则将它们称为X和Y,然后总和X + Y依次正常分布。 Z = X + Y的均值是两个均值的和,方差的平方是两个方差的平方和。
换句话说,你应该使用
normal(x+y,mu1+mu2,Math.sqrt(Math.pow(sigma1,2)+Math.pow(sigma,2)))