Question

我找到了Longest Common Substring的算法。通常使用dynamic programming使用大小为mxn的二维数组来完成，其中m和n是所考虑的两个字符串的长度。

我将为两个字符串构建以下矩阵。

M[i][j] = 1 if s1[i]==s2[j] else 0.

例如，如果字符串为：abcxy和pqaabx

矩阵如下所示：

    a b c x y
 p  0 0 0 0 0
 q  0 0 0 0 0
 a  1 0 0 0 0
 a  1 0 0 0 0
 b  0 1 0 0 0
 x  0 0 0 1 0

现在，我在左上角到右下角的每个对角线上搜索1 s的最大连续序列。

这些中的最大值将是答案。

我可以在不使用数组的情况下执行上述操作。时间复杂度仍为O(M*N)。所以，不需要记忆。

有人能指出我哪里出错吗？

Answer 1

你的方法是正确的。为了证明，假设S1和S2的最长公共子串来自S1 [i..j]和S2 [p..q]。这意味着 S1 [i + k] = S2 [p + k]

这些都位于从（i，p）开始的对角线上。

动态编程解决方案做同样的事情，但不是先计算表格并通过对角线路径，而是根据它的对角线父级加上它们是否匹配来计算表格。

<强> EDITED

关于使用额外内存对维基百科解决方案的评论。它只是为了清晰起见。原则上，维基百科解决方案中只需要两行矩阵，并将当前最大计数保留在一个变量中。这是正确的，因为对于矩阵中的任何（i，j）条目

M（i，j）= 1 + M（i-1，j-1）（如果s1 [i] == s2 [j]）

正如您所看到的，当前行元素仅取决于紧邻上行的元素。

Answer 2

您的算法是正确的，但标准DP方法会消除您的第二阶段，并使解决方案更简单。

您可以在构建矩阵时计算对角线长度，而不是标记布尔值，然后扫描对角线以查找最长的序列 - 只需要一次传递。

就时间和空间复杂性而言，两种解决方案都是O（NxM）。如果使用位矩阵表示，您的解决方案可以节省一些内存，而另一种解决方案可能稍快一些。