Question

我坚持以下证据。

module Temp where

   open import Data.Empty
   open import Data.Fin hiding (compare)
   open import Data.Nat hiding (compare); open import Data.Nat.Properties
   open import Function
   open import Level
   open import Relation.Binary
   open import Relation.Binary.PropositionalEquality

我正在使用自然数Γ解释为上下文， a la / de Bruijn索引，并使用Fin Γ的元素作为标识符。（出于我的问题的目的，我们不需要将它们理解为上下文和标识符，但它可能有助于直觉。）

重命名是一种上下文态射：

Ren : Rel ℕ Level.zero Ren Γ Γ′ = Fin Γ → Fin Γ′

我现在定义以下两个非常简单的操作。第一个close-var产生一个重命名，它从上下文中删除一个名称，将其映射到剩余上下文中的现有名称。第二个open-var产生一个重命名，反过来，在特定位置的上下文中插入一个新名称。要在上下文中找到插入或删除点，我会在toℕ进行比较，因为我还没有弄清楚如何使用Data.Fin.compare。

open StrictTotalOrder strictTotalOrder open DecTotalOrder decTotalOrder renaming (refl to ≤-refl; trans to ≤-trans) open import Data.Fin.Props using (bounded) close-var : ∀ {Γ} → Fin Γ → Fin (suc Γ) → Fin (suc Γ) → Fin Γ close-var _ y z with compare (toℕ y) (toℕ z) close-var _ _ zero | tri< () _ _ close-var _ _ (suc z) | tri< _ _ _ = z close-var x _ _ | tri≈ _ _ _ = x close-var _ zero _ | tri> _ _ () close-var _ (suc y) z | tri> _ _ z<suc-y = fromℕ≤ (≤-trans z<suc-y (bounded y)) open-var : ∀ {Γ} → Fin (suc Γ) → Fin Γ → Fin (suc Γ) open-var y z with compare (toℕ y) (toℕ z) ... | tri< _ _ _ = suc z ... | tri≈ _ _ _ = suc z ... | tri> _ _ _ = inject₁ z

这些定义中唯一的重要部分是close-var的最后一种情况，它必须从较大的上下文强制转换为较小的上下文。

对于固定参数，从close-var和open-var获得的重命名形成了同构（我很确定）。但是我无法理解以下目标：

close∘open≡id : ∀ {Γ} (x : Fin Γ) (y : Fin (suc Γ)) (z : Fin Γ) → (close-var x y ∘ open-var y) z ≡ z close∘open≡id _ y z with compare (toℕ y) (toℕ z) close∘open≡id _ y z | tri< _ _ _ with compare (toℕ y) (suc (toℕ z)) close∘open≡id _ _ _ | tri< _ _ _ | tri< _ _ _ = refl close∘open≡id _ _ _ | tri< y<z _ _ | tri≈ y≮suc-z _ _ = ⊥-elim (y≮suc-z (≤-step y<z)) close∘open≡id _ _ _ | tri< y<z _ _ | tri> y≮suc-z _ _ = ⊥-elim (y≮suc-z (≤-step y<z)) close∘open≡id _ y z | tri≈ _ _ _ with compare (toℕ y) (suc (toℕ z)) close∘open≡id _ _ _ | tri≈ _ _ _ | tri< _ _ _ = refl close∘open≡id _ _ _ | tri≈ _ y≡z _ | tri≈ y≮suc-z _ _ rewrite y≡z = ⊥-elim (y≮suc-z ≤-refl) close∘open≡id _ _ _ | tri≈ _ y≡z _ | tri> y≮suc-z _ _ = {!!} close∘open≡id _ y z | tri> _ _ _ with compare (toℕ y) (toℕ (inject₁ z)) close∘open≡id _ _ _ | tri> _ _ _ | tri< _ _ _ = {!!} close∘open≡id _ _ _ | tri> _ _ _ | tri≈ _ _ _ = {!!} close∘open≡id _ _ _ | tri> _ _ _ | tri> _ _ _ = {!!}

第一种情况应该是不可能的，但我似乎无法使用y≡z和y≮suc-z来导出矛盾，正如我在前一种情况中所做的那样。我认为这是因为模式本身是荒谬的，但我不知道如何使Agda相信这一点。

第二个也许是相关的问题是，在剩下的四个目标下看起来并没有出现足够的减少。它们都包含with个模式，例如tri< .a .¬b .¬c。但我期待嵌套的with子句允许足够的执行来消除这些。我做错了什么？

（作为一个完整性检查，很容易验证：

sub : ∀ {Γ} (x : Fin Γ) (y : Fin (suc Γ)) → Ren Γ Γ sub x y = close-var x y ∘ open-var y Γ : ℕ Γ = 5 ρ : Ren Γ Γ ρ = sub (suc (zero)) (suc (suc (suc zero))) ex₁ : ρ zero ≡ zero ex₁ = refl ex₂ : ρ (suc zero) ≡ suc zero ex₂ = refl ex₃ : ρ (suc (suc (zero))) ≡ suc (suc zero) ex₃ = refl ex₄ : ρ (suc (suc (suc (zero)))) ≡ suc (suc (suc zero)) ex₄ = refl

等等。）

Answer 1

嵌套with条款没问题。问题是，在close-var的定义中，您不仅要匹配compare (toℕ y) (toℕ z)的结果，还要匹配参数y和z本身。当然，在不确定使用哪个函数方程的情况下，Agda无法减少某些东西。

在第二个洞中，close-var应该在inject₁ z上进行模式匹配，但是你没有（并且不能）。你必须对其进行抽象，然后模式匹配足以说服Agda可以安全地选择一个等式。

close∘open≡id x y z | tri> _ _ _
  with inject₁ z | compare (toℕ y) (toℕ (inject₁ z))
... | tri> _ _ _ | Fin.zero  | tri< () _ _
... | tri> _ _ _ | Fin.suc r | tri< _  _ _ = {!!}  -- goal is r ≡ z

至于第一个洞 - 如果上面的代码没有帮助，只需证明一个简单的引理：

≡→≤ : {x y : ℕ} → x ≡ y → x ≤ y
≡→≤ refl = ≤-refl

然后，你可以通过以下方式得出矛盾：

y≮suc-z (s≤s (≡→≤ y≡z))

（我没有查看StrictTotalOrder记录，但很可能这个引理已经存在了。）

在`with`子句中没有充分评估上下文

1 个答案: