Question

鉴于以下算法：

Algorithm Find-Max(Array, size)
Max = -INFINITY
for k:= 1 to n do
    if(A[k] > Max-sf) Then
         Max-sf:=A[k]
    end if

问题是变量max更新的平均时间是多少？

我正在练习算法分析，下面是我的想法，但我不确定，所以我想征求意见。

设T（n）为每次调用find-Max时的比较次数，其中size = n。

T(n) = T(n-1) + 1/n

其中1 / n是最大数字在索引n处的概率。因此，

T(n-1) = T(n-2) + 1/(n-1)
T(n-2) = T(n-3) + 1/(n-2)

通过伸缩，

T(n) = 1/n + 1/(n-1)+ 1/(n-2) + .... + 1

，这是谐波系列。因此，变量Max-sf更新的平均时间是log（n））

这就是我证明它的方式。

所以，我想问3个问题：（1）上述证明是否正确？（2）有没有办法获得比较次数的精确值？（3）假设我们使用分而治之的方法，使用类似的思路作为合并排序而不是扫描数组，更新的数量是否仍然相同？

Answer 1

1）我不确定你的证据，但我发现this one是最正式和最有说服力的证据。

2）确切的比较数似乎是固定的。你总是在循环中做比较。

3）关于分而治之的选项，它不能比最坏情况下的更新数量（n）更好，因为它的行为如下：

T(n) = 2T(n/2) + 1

这导致T（2 ^ n）= 2 * 2 ^ n-1，这意味着Theta（n）复杂度。