使用“最长增长子序列算法（nlgn）”增加子序列的数量

Question

供参考：我正在解决嵌套玩偶问题：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=onlinejudge&page=show_problem&problem=2353

我已经编写了部分以找到增长最长的子序列（nlgn版本）。例如，如果序列如下：1 2 3 1 2 1

1. 我找到了最大的子序列：“1 2 3”并将其从中删除 原始序列。序列变为1 2 1。

2. 我找到了最大的子序列：“1 2”然后我再删除它。序列变为1。

3. 我找到了最大的子序列：“1”并将其删除。序列变空。

所以答案是总共3个增加3个子序列

我的问题是我得到了TLE（时间限制），我需要一种更好的方法来计算子序列。有关于使用“Dilworth定理”的暗示，但我不确定如何应用它。

Answer 1

算法

如果我正确地理解了这个问题，那么你正试图找到可以打包每个玩偶的最小数量的嵌套玩偶，而你的算法就是贪婪地制作每个阶段最大的玩偶（在它包含最多的意义上最大的玩偶）碎片，然后重复，直到所有的娃娃都被包装好。

换句话说，您正在从部分有序的集合中构建链。

Dilworth's theorem说：

  

任何antichain中的最大元素数等于最小值   集合的任何分区中链的数量

因此您可以通过计算单个反链中的元素来计算链的数量。

你可以用你现在正在做的非常类似的方式构建反链，通过按宽度递减顺序排列玩偶，然后在高度内找到最长的增加子序列。

请注意，使用此方法可以通过测量反链的长度得到答案，并且您只需要运行一次最长的增加子序列算法，因此它应该快得多。

实施例

在您的（1,1），（1,1），（2,2），（3,3），（1,1），（2,2），（1,1）的例子中，我们首先按宽度排序依次排序：

(3, 3), 
(2, 2), 
(2, 2), 
(1, 1), 
(1, 1), 
(1, 1), 
(1, 1)

然后提取高度：

3,2,2,1,1,1,1

然后找到增长最长的子序列（请注意，每个元素必须与之前相同或更高，因此严格来说，您会找到最长的非递减子序列）：

1,1,1,1

长度为4，答案是4。