Question

从分类的角度来看，仿函数是一对两个映射（一个在对象之间，另一个在类别的箭头之间），遵循一些公理。

我假设，每个Functor实例与数学定义类似，即可以映射对象和函数，但Haskell的Functor类只有映射函数的函数fmap。

为什么会这样？

UPD 换句话说：

每个Monad类型M都有一个函数return :: a -> M a。

Functor类型F没有函数return :: a -> F a，只有F x构造函数。

Answer 1

首先，有两个级别：类型和值。由于Hask的对象是类型，因此只能使用类型构造函数映射它们，类型构造函数具有* -> *类型：

α -> F α（适用于Functor F），
β -> M β（适用于Monad M）。

然后对于一个仿函数，你需要一个关于态射的映射（即函数，它们是值）：它只是fmap :: (α -> β) -> (F α -> F β)。

到目前为止，我想，我不是在说什么新东西。但重要的是，return :: α -> M α Monad α不是M α类型的映射器，您可能会想到return。关于monad的数学定义， Id对应于从M仿函数到Id仿函数的自然变换。只是这个M ◦ M -> M仿函数是隐含的。 monad的标准定义还需要另一种自然变换class Functor m => Monad m where return :: Id α -> m α join :: m (m α) -> m α。所以将它翻译成Haskell就像

>>= :: m α -> (α -> m β) -> m β

（作为旁注：这两个自然变换实际上是单位和乘法，这使monad成为endofunctors类别中的 monoid ）

实际定义不同但是相同。请参阅Haskell/wiki。

如果你采用类似于组合的运算符派生形式的标准绑定(>=>) :: Monad m => (α -> m β) -> (β -> m γ) -> (α -> m γ) f >=> g = \a => f a >>= g：

{{1}}

你可以看到，它实际上都与Kleisli category有关。另请参阅关于计算机科学中monad的article on nLab。

Answer 2

一个类别的对象不与OO编程语言中的对象相同（我们更喜欢在Haskell中调用那些值;他们在类别理论中的意义进行了讨论here）。相反， Hask 的对象是类型。 Haskell Functor是 Hask 中的endofunctor，即通过以下方式将类型与类型相关联：

前奏＆GT; ：k也许是   也许:: * - ＆gt; *
  前奏＆GT; ：k Int
  Int :: *
  前奏＆GT; ：k也许Int   也许Int :: *

OTOH， Hask 的箭头实际上是某些函数类型a -> b的值。这些以下列方式关联：

fmap :: ( Functor (f ::   t     ->     f t       {- type-level  -} ) )
             =>         (a->b)  ->  fmap(a->b)   {- value-level -}
                     ≡  (a->b)  ->  (f a->f b)

Answer 3

如果你有

instance Functor F where
    fmap = ...

然后类型构造函数F是对类型T采用类型F T的对象（类型）上的操作，而fmap是对态射的操作（函数）将函数f :: T -> U转换为fmap f :: F T -> F U。

Answer 4

虽然您在问题中使用了那些奇特的分类术语，并且应该对现有答案完全满意，但这是尝试一个相当简单的解释：

假设将成为Functor类型类中的函数return（或pure或unit或...）。

现在尝试定义Functor的一些常见实例：[]（列表），Maybe，((,) a)（带左侧组件的元组）

够了，嗯？

以下是普通的Functor实例：

instance Functor [] where
   fmap f (x : xs) = f x : fmap xs
   fmap _ []       = []

instance Functor Maybe where
   fmap f (Just x) = Just (f x)
   fmap _ Nothing  = Nothing

instance Functor ((,) a) where
   fmap f (x, y) = (x, f y)

现在Functor的return呢？

解释

instance Functor [] where
   return x = [x]

好的。那可能呢？

instance Functor Maybe where
   return x = Just x

好。现在元组：

instance Functor ((,) a) where
   return x = (??? , x)

你知道，不知道哪个值应该填充到该元组的左侧组件中。实例声明表明它的类型为a，但我们不知道该类型的值。也许类型a是Unit类型，只有一个值。但如果是Bool，我们应该True还是False？如果是Either Int Bool我们应该Left 0还是Right False还是Left 1？

所以你看，如果你在Functors上有return，你就无法定义很多有效的函子实例（你需要强加一个类似于FunctorEmpty类型类的约束）。

如果您查看Functor和Monad的文档，您会看到确实存在Functor ((,) a)的实例，但Monad ((,) a)没有实例。这是因为你无法为那件事定义return。

为什么Functor类没有返回功能？

4 个答案: