简单卷积与numpy的意外结果

Question

我有一段时间没有做过DSP，但是我没想到我对基础知识的掌握到目前为止。 我有一个脚本，我用一个复杂的指数卷积一个音调。结果我期望是一个转变的基调。我的结果非常出乎意料 - 我得到了3个音调，而且没有一个是我期望的频率。有人可以解释为什么我会得到这些结果吗？

这是脚本。

import sys
import numpy
import math
import scipy
from pylab import *

def gen_tone(f, fs, length):
    t = linspace(0, length, length * fs)
    return cos(2.0 * pi * f * t)

def gen_exp(f, fs, length):
    t = linspace(0, length, length * fs)
    return numpy.exp(1.0j * 2 * pi * f * t)

def plot_fft(f, fs):
    FFT = abs(scipy.fft(f, 1024)) / f.size
    figure()
    plot(FFT)

f100 = gen_tone(8000, 44100, 1)
f200j = gen_exp(1000, 44100, 1)

res = scipy.signal.fftconvolve(f100, f200j, 'full')

plot_fft(f100, 44100)
plot_fft(f200j, 44100)
plot_fft(res, 44100)

show()

Answer 1

您正在使用频移属性。 （请参阅，例如http://ocw.usu.edu/Electrical_and_Computer_Engineering/Signals_and_Systems/5_6node6.html;向下滚动一下标记为频移属性的部分。）也就是说，如果f(t)的傅里叶变换为F(w) ，那么f(t)*exp(j*w0*t)的傅立叶变换是F(w - w0)。表达式f(t)*exp(j*w0*t)是f(t)和exp(j*w0*t)，不是卷积的逐点乘法。

要查看您期望的结果，请将其替换为：

res = scipy.signal.fftconvolve(f100, f200j, 'full')

与

res = f100 * f200j

如果修改绘图函数，结果会更容易看到：

def plot_fft(f, fs):
    FFT = abs(fft(f, 1024)) / f.size
    freq = fftfreq(1024, 1.0/fs)
    ndx = freq.argsort()
    figure()
    plot(freq[ndx], FFT[ndx])
    grid(True)

并添加

from scipy.fftpack import fft, fftfreq

位于脚本的顶部。

您会看到f100的FFT图中-8000和8000处的峰值在res的FFT图中移位到-7000和9000。

Answer 2

你想要的是频域中的乘法（移位音），所以你必须这样做：

res = f100 * f200j

而不是

res = scipy.signal.fftconvolve(f100, f200j, 'full')

下面是input（黑色）和res（蓝色）信号的频谱图像（不是FFT）。移位信号显示9kHz的dirac（8000移位1000）。

以下是我的plotSpectrum函数

def plotSpectrum(y,Fs):
    """
    Plots a Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)
    """
    n = len(y) # length of the signal
    k = arange(n)
    T = n/Fs
    frq = k/T # two sides frequency range
    frq = frq[arange(int(n/2))] # one side frequency range

    Y = fft(y)/n # fft computing and normalization
    Y = Y[arange(int(n/2))]

    plot(frq,abs(Y),'r') # plotting the spectrum
    xlabel('Freq (Hz)')
    ylabel('|Y(freq)|')