自然演绎：这是一个合理的证据吗？

Question

我试图解决以下问题，但我无法检查它......或者wolfram这样做了吗？我不知道我对操作员（范围）的处理是否有问题......你知道吗？     对于所有x：upended A运算符（通用性）

there exists an x: inverted E operator (existence)

for all x(P(x) -> R(x)), for all x(P(x) v not_Q(x)); there exists an x(Q(x)) hold under partial correctness: there exists an x(R(x))

证明：

Answer 1

扣除的结构是合理的，但是有些步骤缺少将您从量化的陈述带到特定的陈述，然后再回到量化。

说P-->Q与第一个前提“等同”是不正确的：那就是将谓词陈述误解为命题陈述。你可以所说的是，如果第一个前提适用于所有x，那么对于一个特定的x来说肯定是正确的。因此，第一个前提的普遍实例化可以给你P(a)-->R(a)。类似地，由于第三个前提告诉我们至少有一个x这样的Q（x），我们可以说让我们称之为x的“a”，因此声称Q(a)。

一旦达到证明R(a)的程度，就可以使用存在性概括来得出最终结论。

Answer 2

我不同意@MattClarke，因为你推理的结构是合理的。它不遵守自然演绎的规则。例如，您的盒装证明假定Q和~Q（我使用~进行否定）并得出结论P。但是没有自然的推论规则允许你在一个盒子里面使用多个假设（即使有，并且这样的规则可以证明合理，那么盒装证明的结果不仅仅是P你似乎声称，而是暗示(Q /\ ~Q) --> P，这是微不足道的，因为已经有一个自然的演绎规则允许我们从矛盾中推断出任何东西。）

从OP来看，我不清楚你想要证明什么。我只想假设ALL x. (P(x) --> R(x))，ALL x. (P(x) \/ ~Q(x))和EX x. Q(x)这三个前提您要证明EX x. R(x)。

由于您要证明的公式以存在量词开始，因此将通过存在 - 引入获得。但首先我们从这个前提开始：

 1 ALL x. (P(x) --> R(x)) premise  
 2 ALL x. (P(x) \/ ~Q(x)) premise  
 3 EX x. Q(x)             premise

存在 - 消除规则会打开一个方框（方框将由大括号{和}表示），并允许我们在假设存在证据的情况下得出可证明的公式应用规则的存在公式，即

 4 { for an arbitrary but fixed y that is not used outside this box
 5 Q(y)                   assumption  
 6 P(y) \/ ~Q(y)          ALL-e 2

此时我们应用一个析取消除，相当于案例分析P(y)成立或~Q(y)成立（至少有一个必须为真，因为我们有P(y) \/ ~Q(y) ）。每个案例都有自己的方框

 7 {  
 8 P(y)                   assumption  
 9 P(y) --> R(y)          ALL-e 1  
10 R(y)                   -->-e 9, 8  
11 }  
12 {
13 ~Q(y)                  assumption  
14 bottom                 bottom-i 5, 14  
15 R(y)                   bottom-e 15  
16 }  
17 R(y)                   \/-e 6, 7-11, 12-16  
18 EX x. R(x)             EX-i 17  
19 }  
20 EX x. R(x)             EX-e 3, 4-19