Question

我在使用以下算法时遇到了一些问题：

for (int i = 1; i < n; i = 2i)
    for (int j = i; j < n; j++)
        // do something (const time)

因此，显示运行时为O（nlogn）并不太难 - 但我不确定如何显示它是Big Omega（nlogn）！直观地说，我认为情况必然如此，因为对于给定的n，时间复杂度在最佳/最差情况之间不会有所不同。

任何建议都将非常感谢！

Answer 1

在此算法中，没有最佳或最差执行路径：给定n的值，执行路径是固定的。所以最好和最坏的情况都是一样的。

一个好的经验法则是，如果算法的控制流程不是数据驱动的，那么最佳和最差的情况都是相同的。

我所说的数据驱动的一个例子是快速排序算法的实现，其中枢轴总是被选择为数组的第一个元素。有时，第一个元素将完美地分割其余数据（最好的情况），有时它将是最大值或最小值（最坏情况）。

Answer 2

要看到为什么这是O（nlogn）的直觉，我们需要做的就是看内循环执行多少次。

正如你所说，外循环执行logn次（很容易看到，因为在不等式停止持有之前你只能加倍i logn次）

因此对于内部循环，我们可以看到每次i更改时它会执行不同数量的步骤

第一次迭代，它执行n-1次（i开始于1）

下一次迭代n-2

第三次迭代n-4

我们可以看到模式为(n-1) + (n-2) + (n-4) + (n-8) ...

现在，让我们将n's分开。我们有多少(n-k)个新增内容？通过了解外循环执行的次数，我们得到logn。

因此n + n + n + n ... - 1 - 2 - 4 - 8...可以被视为nlogn - 1 - 2 - 4 - 8 ...

现在，我们如何表明这可以进一步减少？我们减去的总数是logn减法（由于外循环），我们知道减法的大小每次都会增加一倍。查看它的另一种方法是来自i = 0 to logn 2^i的总和。

现在，sum of i = 0 to n 2^i的标准CS公式为2^(n+1) - 1。例如，这用于显示完整二叉树中的最大节点数，您可以通过归纳来证明它。

因此，我们将logn替换为公式中的n，我们得到nlogn - (2^(logn+1)- 1)。但我们还没有完成。我们可以证明2^(logn+1) = 2*2^logn=2*n。最后，我们最终得到了nlogn - 2n + 1。此时，设置不等式并找到c2。