n ^ 2 log n复杂度

Question

我只是有点困惑。如果算法的时间复杂度由

给出

大O符号是什么？只需或我们保留日志？

Answer 1

如果这是算法的时间复杂度，那么它已经是大O符号，所以，是的，保留日志。渐近地，O(n^2)和O((n^2)*log(n))之间存在差异。

Answer 2

理解大O符号的一种简单方法是将实际步数除以具有大O的项，并验证得到一个常数（或小于某个常数的值）。

例如，如果您的算法执行10n²⋅logn步骤：

10n²⋅logn/ n 2 = 10 log n - >在n中不恒定 - > 10n²⋅logn不是O（n²）

10n²⋅logn/（n²·log n）= 10 - >常数在n - >; 10n²⋅logn是O（n²⋅logn）

Answer 3

你确实保留了日志，因为log（n）会随着n的增加而增加，反过来会增加你的整体复杂度，因为它会成倍增加。

作为一般规则，您只会删除常量。因此，例如，如果你有O（2 * n ^ 2），你只会说复杂度为O（n ^ 2），因为在功能强大两倍的机器上运行它不应该影响复杂性。

以同样的方式，如果你有复杂度O（n ^ 2 + n ^ 2），你会得到上述情况，只是说它是O（n ^ 2）。由于O（log（n））比O（n ^ 2）更优，如果你有O（n ^ 2 + log（n）），你会说复杂度是O（n ^ 2），因为它甚至更少比O（2 * n ^ 2）。

O（n ^ 2 * log（n））不属于​​上述情况，所以你不应该简化它。

Answer 4

如果某些算法的复杂度= O（n ^ 2），则可以将其写为O（n * n）。是O（n）？绝对不是。所以O（n ^ 2 * logn）不是O（n ^ 2）。你可能想知道的是O（n ^ 2 + logn）= O（n ^ 2）。

Answer 5

这里有一个正式的数学证明。

让我们定义以下变量和函数：
N - 算法的输入长度，
f(N) = N^2*ln(N) - 计算算法执行时间的函数。

让我们确定这个函数的增长是否由O(N^2)渐近限制。

根据渐近符号[1]的定义，g(x)是f(x)的渐近范围，当且仅当：对于x的所有足够大的值， f(x)的绝对值最多为g(x)的正常数倍。也就是说，f(x) = O(g(x))当且仅当存在正实数M和实数x0时

|f(x)| <= M*g(x) for all x >= x0 (1)

在我们的案例中，必须存在正实数M和实数N0，以便： |N^2*ln(N)| <= M*N^2 for all N >= N0 (2)

显然，这样的M和x0不存在，因为任何大的M都有N0，这样 ln(N) > M for all N >= N0 (3)

因此，我们证明N^2*ln(N)并非由O(N^2)渐近限制。

参考文献：
1： - https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation