为什么这套正式命题可以枚举？

Question

这个问题来自我的Discrete Math Homework：

如果一个程序可以编写一个程序，一旦程序启动，它将打印一个S元素列表，并且对于所有元素s∈S，程序将最终打印出该元素，所以集合S是递归可枚举的。 s。

以下哪一项是递归枚举集？

一个。 N（其中N表示自然数）

B中。 N×N（其中N表示自然数）

℃。 N的子集的幂集P（N）。

d。一套正式的命题。

电子。有理数的集合Q。

答案是“A，B，D，E”

我对选择“D.一套正式命题”感到困惑

非常感谢！

PS：“正式命题”是指“由特定符号而非英语单词组成的命题”（例如，ョx∈N，x <5）

Answer 1

正式命题只有在我们假设我们只对“可写”词（对于某些有限/可枚举词汇符号的有限长度>感兴趣时才能递归枚举） ）。

在这种情况下，我们可以编写程序，给定对（A，B）写入长度为B的第A个命题，然后使用我们的程序写下NxN将其写下来。第一个程序的存在是基于以下假设：我们使用一些有限的符号集来将它们写下来（或者至少可以枚举）;我们的命题在长度方面是有限的（我们的程序必须能够打印出来）。

Answer 2

因为你可以编写一个程序来打印出象征主义所表达的所有形式命题。考虑一组正式命题的递归定义：

1. 原始符号的字母;每个都是一个正式的主张
2. 使用各种算子的正式命题的组合asre formal propositions
3. 没有别的东西是正式的命题

所以你先说，{a，b，c}，然后是{（a + b），（a / b）......}，然后{（（a + b）+ c）......等等。

现在，该程序永远不会终止 - 你总是可以创建一个新的f.p.通过添加另一个术语 - 但你得到所有的f.p.按某种顺序，所以你可以打印它们

1. FP1
2. FP2

等等。所以，你可以枚举它们：递归枚举。