Question

我是Isabelle新手，我对⋀和∀之间以及⟹和between之间的关系感到困惑（实际上，很多）。

我有以下目标（这是我在真实证明中最终得到的高度简化的版本）：

⟦⋀x. P x ⟹ P z; P y⟧ ⟹ P z

我想通过专业化x与y得到⟦Py⟹Pz来证明; Py⟧⟧Pz，然后使用modus ponens。这有助于证明非常相似：

⟦∀x. P x ⟶ P z; P y⟧ ⟹ P z

但我无法让它为上述目标而努力。

有没有办法将前一个目标转变为后者？如果不是，这是因为它们在逻辑上是不同的陈述，在这种情况下有人可以帮助我理解差异吗？

Answer 1

可以通过以下证明显示两个前提!!x. P x ==> P y和ALL x. P x --> P y在逻辑上等效

lemma
  "(⋀x. P x ⟹ P y) ≡ (Trueprop (∀x. P x ⟶ P y))"
  by (simp add: atomize_imp atomize_all)

当我为你的示例证明尝试相同的推理时，我遇到了一个问题。我打算做以下证明

lemma
  "⟦⋀x. P x ⟹ P z; P y⟧ ⟹ P z"
apply (subst (asm) atomize_imp)
apply (unfold atomize_all)
apply (drule spec [of _ y])
apply (erule rev_mp)
apply assumption
done

但在unfold atomize_all我得到了

Failed to apply proof method:

当试图明确地实例化引理时，我得到一个更明确的错误信息，即

apply (unfold atomize_all [of "λx. P x ⟶ P z"])

产量

Type unification failed: Variable 'a::{} not of sort type

我发现这很奇怪，因为据我所知，每个类型变量应该是排序type。我们可以通过添加显式排序约束来解决此问题：

lemma
  "⟦⋀x::_::type. P x ⟹ P z; P y⟧ ⟹ P z"

然后证明如上所示。

简而言之。我通常使用Isar结构化校样而不是apply脚本。然后经常避免这些问题。对于你的陈述我实际上会做

lemma
  "⟦⋀x. P x ⟹ P z; P y⟧ ⟹ P z"
proof -
  assume *: "⋀x. P x ⟹ P z"
    and **: "P y"
  from * [OF **] show ?thesis .
qed

或许更惯用

lemma
  assumes *: "⋀x. P x ⟹ P z"
    and **: "P y"
  shows "P z"
  using * [OF **] .

Answer 2

C.Sternagel回答了你的标题问题＆＃34;如何？＆＃34;，这满足了你的最后一句话，但我继续根据他的回答填写一些细节，试图帮助[＃34;你了解差异＆＃34;。

令人困惑的是，==>和-->，元蕴涵和HOL蕴涵，并且它们都具有逻辑蕴涵的属性。（我不会对!!和!，meta-all和HOL-all说太多，因为关于==>和-->的所说的可以主要是转移给他们。）

（注意：我尽可能将图形字符转换为等效的ASCII，以确保它们在所有浏览器中都能正确显示。）

首先，我提供一些参考资料：

[1] Isabelle / Isar参考手册。
[2] HOL / HOL.thy
[3]计算机科学中的逻辑，作者：Huth和Ryan
[4] Wiki后续条目。
[5] Wiki直觉逻辑词条。

如果你理解了一些基础知识，那么同时存在==>和-->这一事实并不令人困惑。大部分的混乱都离开了，剩下的只是挖掘特定源语句含义的细节，比如C.Sternagel的第一个引理的公式。

"(!!x. P x ==> P y) == (Trueprop (!x. P x --> P y))"

C.Sternagel停止花时间给我重要的答案，但他给你的上述公式与他刚才给我的相似，以说服公式中的所有自由变量都是普遍量化的。

简短回答：==>和-->之间的区别在于==>（有点）扮演旋转门符号|-的一部分一个非广义的序列，其中右边只有一个结论。也就是说，==>，Isabelle / Pure的元逻辑蕴涵运算符，用于定义Isabelle / HOL蕴涵对象逻辑运算符-->，如下所示impI axiomatization [2]中的HOL.thy。

(*line 56*)
typedecl bool   
judgment
  Trueprop :: "bool => prop"

(*line 166*)  
axiomatization where
  impI: "(P ==> Q) ==> P-->Q" and
  mp: "[| P-->Q;  P |] ==> Q" and

  iff: "(P-->Q) --> (Q-->P) --> (P=Q)" and
  True_or_False: "(P=True) | (P=False)"

上面，我展示了其他三个公理的定义：mp（modus ponuns），iff和True_or_False（排除中间的法则）。我这样做是为了反复说明如何使用==>来定义HOL逻辑的公理和运算符。我还投入了judgement来表明在Isar语言中使用了一些后续词汇。

我还展示公理True_or_False，以证明伊莎贝尔/ HOL逻辑具有Isabelle / Pure没有的公理，被排除在中间的法则[5]。这对于回答你的问题非常重要＆＃34;有什么区别？＆＃34;

这是A.Lochbihler最近的一个答案，最终给我的意思是直觉主义＆＃34; [5]。我曾多次见过＆＃34;直觉主义＆＃34;在伊莎贝尔的文献中，但它并没有沉入其中。

如果你能理解下一个来源的差异，那么你可以看到==>和-->之间以及类型prop和{{之间存在很大差异1}}，其中bool是元逻辑命题的类型，而不是prop，这是HOL逻辑命题的类型。在HOL对象逻辑中，bool表示任何命题False。但是，Q::bool并不代表任何命题False::bool。

类型Q::prop是元逻辑团队prop，!!和==>的重要组成部分。

==

当您了解Isabelle / Pure元逻辑theorem "(!!P. P::bool) == Trueprop (False::bool)" by(rule equal_intr_rule, auto) theorem HOL_False_meta_implies_any_prop_Q: "(!!P. P::bool) ==> PROP Q" (*Currently, trying by(auto) will hang my machine due to blast, which is know to be a problem, and supposedly is fixed in the current repository. With `Auto methods` on in the options, it tries `auto`, thus it will hang it.*) oops theorem HOL_False_meta_implies_any_bool_Q: "(!!P. P::bool) ==> Q::bool" by(rule meta_allE) theorem HOL_False_obj_implies_any_bool_Q: "(!P. P::bool) --> Q::bool" by(auto)用于定义HOL逻辑以及其他差异时，例如由于没有排除中间而导致元逻辑较弱，那么您理解那里与HOL对象逻辑运算符==>，!!相比，元运算符==>，==和!之间存在显着差异，和-->。

从这里开始，我提供了更多详细信息，部分是为了说服任何专家我没有完全滥用=这个词，我在这里使用的主要是基于它如何用于参考[3, Huth and Ryan]。

试图不写书

我引用一些引用和引用来表明序列和sequent之间存在关系。

从我的研究中，我无法看到“＆＃34; sequent＆＃34;是标准化的。据我所知，在[3.pg 5]中，Huth和Ryan使用＆＃34; sequent＆＃34;表示在右侧只有一个结论的序列。

......我们用
表示这个意图
phi1，phi2，...，phiN | - psi

此表达式称为后续表达式;如果可以找到证据，则有效。

更为狭隘的后续定义，其中右侧只有一个结论，与==>的使用非常匹配。

我们可以责怪L.Paulson通过将元逻辑与对象逻辑分开来混淆我们，尽管我们可以感谢他为我们提供了一个更大的逻辑操场。

也许为了避免与后续的共同定义发生冲突，如在[4, Wiki]中，他在文献的不同地方使用了短语==>。无论如何，使用natural deduction sequent calculus与在Isabelle / HOL逻辑中实现自然演绎规则完全相关。

即使有广义序列，L.Paulson更喜欢==>符号：

你问过差异。我再次提供了与C.Sternagel的答案相关的一些来源，以及==>公理化：

impI

我将(*line 166*) axiomatization where impI: "(P ==> Q) ==> P-->Q" (*706*) lemma --"atomize_all [atomize]:" "(!!x. P x) == Trueprop (ALL x. P x)" by(rule atomize_all) (*715*) lemma --"atomize_imp [atomize]:" "(A ==> B) == Trueprop (A --> B)" by(rule atomize_imp) (*line 304*) lemma --"allI:" assumes "!!x::'a. P(x)" shows "ALL x. P(x)" by(auto simp only: assms allI置于结构化校样格式中：

impI

现在，考虑lemma impI_again: assumes "P ==> Q" shows "P --> Q" by(simp add: assms)使用后续旋转门，==>为后续符号水平栏，然后你有以下后续内容：

shows

这是自然演绎含义引入规则，正如公理名称所说，P |- Q ------- P --> Q (Cornell Lecture 15)。

大家伙长期以来一直处于这一切之上。有关impI，!!和==>的概述，请参见[1, Section 2.1, page 27]。特别是，它说

纯逻辑[38,39]是高阶逻辑的直觉片段 [13]。在类型理论的说法中，有三个级别的lambda演算相应的箭头== / !! / ==＆gt;`...

该陈述的一个重要意义是，在使用Isabelle / HOL时，您使用的是两个逻辑，一个元逻辑和一个对象逻辑，其中这两个术语来自L.Paulson，其中＆＃34 ;直觉＆＃34;是元逻辑的关键定义点。

另见[1, Section 9.4.1, Simulating sequents by natural deduction, pg 206]。根据M.Wenzel在IsaUsersList上的说法，L.Paulson写了这一部分。在页205，保尔森首先将序列的定义作为广义定义。在206页，然后他展示了如何使用=>排列一种类型的序列，这是通过否定一个序列右侧的每个命题，除了其中一个。

从各方面来看，这是horn clause，我对此一无所知。

对我来说，使用==>似乎是使用有限形式的序列。无论如何，这就是我如何看待它，并且这样思考让我理解==>和==>之间的差异，以及元逻辑具有的这一事实。没有被排除在中间。

如果A.Lochbhiler没有指出缺少被排除的中间人，我就不会看到-->可能存在的重要区别，以及＆＃ 39;可以使用==>。

也许C.Sternagel会再次回头给我一些重要的答案。

请原谅长期答案。

Answer 3

其他人已经解释了元逻辑和逻辑之间差异的一些原因，但错过了简单的策略apply atomize：

lemma "⟦⋀(x::'a). P x ⟹ P z ; P y⟧ ⟹ P z"
  apply atomize

产生目标：

⟦ ∀x. P x ⟶ P z; P y ⟧ ⟹ P z

根据需要。

（由于chris提到的原因，需要额外的类型约束⋀(x::'a)。）

Answer 4

已经有很多文字，所以只是简单的几点说明：

Isabelle / Pure是最小 - 高阶逻辑，主要连接词⋀和⟹以声明的方式规定自然演绎规则。系统知道如何通过基本方法组合它们，例如，在Isar样张中，证明方法如rule，属性如OF。

Isabelle / HOL是完整的高阶逻辑，具有完整的谓词逻辑连接词集，例如∀∃∧∨⟶⟷，以及更多的图书馆资料。对于这些连接词，allI，allE，exI，exE等规范性引言规则正式解释了推理如何运作。纯框架。 HOL∀和⟶以某种方式对应于Pure⋀和⟹，但它们属于不同类别，不应该被扔进同一个盒子里。

请注意，除了用于打印此类定理的基本thm命令之外，使用print_statement来获取Isar读取这些自然演绎推理形式有时会有所帮助。

如何在假设中用∀和replace代替⋀和。

4 个答案:

试图不写书