两个16位数的乘法 - 为什么结果是32位长？

Question

如果我将两个16位数相乘，结果将是32位长。但为什么会这样呢？ 对此有什么明确的解释？

为了我正确的理解： 对此的计算是：n位数乘以m位数给出（n + m）位数？

Answer 1

  

（2 ⁿ - 1）*（2 ^m - 1）= 2 ^{n + m} - 2 ⁿ - 2 ^m + 1

- （2 ⁿ + 2 ^m ）就像清除索引 n 和 m ，与2 ^{n + m} 相比，对结果影响不大，因此需要n + m位来表示结果。

例如 1111 ₂ * 1111 ₂ = 11100001 ₂ （15 * 15 = 225）

一般来说，（b ⁿ - 1）*（b ^m - 1）= b ^{n + m} - b ⁿ - b ^m + 1 ，因此在任意基数 b 结果中将n位乘以m位数在最多n + m位的数字

您可以在基数10中轻松看到： 9 * 9 = 81 （1位* 1位= 2位数）或 99 * 99 = 9801 （2位数） * 2位= 4位数）

Answer 2

为简单起见，我们采用无符号二进制数。使用n个二进制数字，您可以表示2 ^ n个不同的数字，范围从0到2 ^ n-1。当将n位二进制数乘以m位二进制数时，结果将是0到（2 ^ n-1）*（2 ^ m-1）= 2 ^（n + m） - 2之间的数字。 ^ n - 2 ^ m + 1，其通常仅略小于2 ^（n + m）-1。要表示这样的结果范围，您需要n + m个二进制数字。