Question

我正在尝试开发随机梯度下降，但我不知道它是否100％正确。

我的随机梯度下降算法产生的成本有时与FMINUC或批量梯度下降产生的成本相差甚远。
当批量梯度下降成本收敛时，当我设置学习率α为0.2时，我被迫为我的随机实现设置学习率α为0.0001，因为它不会发散。这是正常的吗？

以下是我使用10,000个元素和num_iter = 100或500

的训练集获得的一些结果

    FMINUC : 
    Iteration  #100 | Cost: 5.147056e-001

    BACTH GRADIENT DESCENT  500 ITER
    Iteration #500 - Cost = 5.535241e-001

    STOCHASTIC GRADIENT DESCENT 100 ITER
    Iteration #100 - Cost = 5.683117e-001  % First time I launched
    Iteration #100 - Cost = 7.047196e-001  % Second time I launched

逻辑回归的梯度下降实施

J_history = zeros(num_iters, 1); 

for iter = 1:num_iters 

    [J, gradJ] = lrCostFunction(theta, X, y, lambda);
    theta = theta - alpha * gradJ;
    J_history(iter) = J;

    fprintf('Iteration #%d - Cost = %d... \r\n',iter, J_history(iter));
end

逻辑回归的随机梯度下降实施

% number of training examples
m = length(y);

% STEP1 : we shuffle the data
data = [y, X];
data = data(randperm(size(data,1)),:);
y = data(:,1);
X = data(:,2:end);

for iter = 1:num_iters 

     for i = 1:m
        x = X(i,:); % Select one example
        [J, gradJ] = lrCostFunction(theta, x, y(i,:), lambda);
        theta = theta - alpha * gradJ;
     end

     J_history(iter) = J;
     fprintf('Iteration #%d - Cost = %d... \r\n',iter, J);

end

作为参考，以下是我的示例中使用的逻辑回归成本函数

function [J, grad] = lrCostFunction(theta, X, y, lambda)

m = length(y); % number of training examples

% We calculate J    
hypothesis = sigmoid(X*theta); 
costFun = (-y.*log(hypothesis) - (1-y).*log(1-hypothesis));    
J = (1/m) * sum(costFun) + (lambda/(2*m))*sum(theta(2:length(theta)).^2);

% We calculate grad using the partial derivatives
beta = (hypothesis-y); 
grad = (1/m)*(X'*beta);
temp = theta;  
temp(1) = 0;   % because we don't add anything for j = 0  
grad = grad + (lambda/m)*temp; 
grad = grad(:);

end

Answer 1

这非常好。如果您担心选择合适的学习率alpha，则应考虑应用行搜索方法。

线搜索是一种在每次迭代时选择梯度下降的最佳学习率的方法，这比在整个优化过程中使用固定学习率更好。学习率alpha的最佳值是局部（从负梯度方向的当前theta）最小化成本函数。

在梯度下降的每次迭代中，例如，从学习率alpha = 0开始，逐步增加alpha固定步骤deltaAlpha = 0.01。重新计算参数theta并评估成本函数。由于成本函数是凸的，通过增加alpha（即，通过在负梯度的方向上移动），成本函数将首先开始减小然后（在某个时刻）增加。此时停止行搜索并在成本函数开始增加之前采用最后alpha。现在使用theta更新参数alpha。如果成本函数从未开始增加，请停在alpha = 1。

注意：对于较大的正则化因子（lambda = 100，lambda = 1000），deltaAlpha可能过大且梯度下降偏离。如果是这种情况，请将deltaAlpha减少10次（deltaAlpha = 0.001，deltaAlpha = 0.0001），直至找到适合梯度下降收敛的deltaAlpha。

此外，您应该考虑使用除迭代次数之外的某些终止条件，例如：当两次后续迭代中的成本函数之间的差异变得足够小时（小于某些epsilon）。

Answer 2

学习率的值很小。简而言之，当学习率以适当的速率降低并且受到相对温和的假设时，当目标函数凸时，随机梯度下降几乎肯定会收敛到全局最小值。 pseudoconvex ，并且几乎肯定会收敛到本地最小值。这实际上是 Robbins-Siegmund 定理的结果。

罗宾斯，赫伯特; Siegmund，David O.（1971）。 “收敛定理对于非负面的几乎超级鞅和一些应用“ Rustagi，Jagdish S.统计中的优化方法。学术出版社

Answer 3

学习率始终在0到1之间。如果您将学习率设置得非常高，那么由于跳过，它会在较小程度上遵循所需的学习率。因此，即使花费更多时间，也需要很小的学习率。输出结果将更有说服力。

我的随机梯度下降的实现是否正确？

3 个答案: