毕达哥拉斯三重奏

Question

我尝试解决this problem

  

恰好存在一个毕达哥拉斯三重态，其中a + b + c = 1000。

我使用欧几里德的公式：

我的解决方案是：

int a = 0, b = 0, c = 0, m = 0, n = 0;
int abort = 0;

 while(abort == 0)
 {
      m++;
      while(abort == 0 && n < 10000)
      {
          n++;
          if(m > n)
          {
              a = (m*m) - (n*n);
              b = 2*m*n;
              c = (m*m) + (n*n);

              if(a+b+c == 1000 && a > 0 && b > 0 && c > 0 /*&& a < b && b < c*/)
              {
                   exit = 1;
              }
          }
      }
      n = 0;
 }

如果我运行这个，我得到一个= 375 b = 200和c = 425.这是错误的，因为它应该是a < b < c但是如果我使用你在我的代码中看到的检查（被注释掉的部分）我的代码永远运行。

那我的错是什么？

Answer 1

有一个典型错误，其中包含您正在使用的公式：并非所有毕达哥拉斯三元组都可以用它来描述（但所有小学那些）; 右公式集是

  a = k * (m * m - n * n)
  b = k * (2 * m * n)
  c = k * (m * m  + n * n)

例如，小节（9 12 15）需要 k = 3 ;但是，提供的集合过度：某些三元组出现两次或更多次，因此您将不得不使用HashMap或其他东西。在您确切的问题中，所需的三元组（375 200 425）由（m = 20，n = 5，k = 1）生成，所以在这个 Project Euler promblem可以使用缩短的公式，但是在其他人中，你将与正确的人有关。

Answer 2

a和b在公式a^2 + b^2 = c^2中完全等效（与c不同，后者扮演着不同的角色）。保持算法不变，并在获得算法后在结果中交换a和b，如果它们恰好处于“错误”的顺序。

从形式上讲，鉴于任何a，b和c属于毕达哥拉斯三元组，除了因为a < b不属实，而b < a是，b，a和c是毕达哥拉斯三重奏。

Answer 3

  

这是错误的，因为它应该是＆lt; b＆lt; ç

我认为你说“应该”，因为你认为（m²-n²）＆lt; 2mn＆lt; （平方米+N²）。

确实，m2 +n²≥2nm并且确实m2 +n²≥m²-n²但是2mn≥m²-n²是不正确的（如果需要，可以在下面解释）。例如，取m = 4且n = 1.然后2mn = 8，小于m²-n² = 15。

所以你不应该将a < b作为终止条件，这不是你想要的。

基本上你有正确的算法来找到答案，但有时a将是最短的一面，有时会b。这是有道理的，因为它只是公式中特殊的c（hypoteneuse）。所以改为按照你的方式运行算法 - 这会找到三元组 - 然后如果你想返回一个答案集，其中a < b < c只是在返回之前交换a和b。< / p>

最后，正如另一位回答者指出的那样，这可能找不到你正在寻找的毕达哥拉斯三重奏。对于任何a²+b²=c²，ka²+kb²=kc²也是正确的，结果可能是pa + pb + pc = 1000（其中p²= k）......

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解释数学：

对于真实的m，n。

(m-n)² ≥ 0所以m²-2mn-n² ≥ 0和m²-n² ≥ 2mn。

（第一个结果）

然后（第二个结果）

m²+n² ≥ m²-n²

由于m²≥0且n²≥0，

对于实m和n是微不足道的。