Question

我正在以编程方式计算给定音符的频率。

快速介绍：

音符 A4 的频率为 440Hz
注意一个八度音高是 double 相同音符在较低八度音程中的频率（因此 A3 为220Hz， A2 为110Hz）
一个音符与下一个半音之间的差异是log 2到12的基数。
C3 = B3 x 2 ^ (1/12)

在Ruby中编写这个公式，我想出了以下内容：

# Starting from the note A4 (440Hz)
A4 = 440.to_f
# I want the frequencies of each note over the next 3 octaves
number_of_octaves = 3
# There are 12 semitones per octave
SEMITIONES_PER_OCTAVE = 12

current_freq = A4
(number_of_octaves * SEMITIONES_PER_OCTAVE).times do |i|
  puts "-----" if i % 12 == 0 # separate each octave with dashes
  puts current_freq
  current_freq = current_freq * 2 ** Rational('1/12')
end

我回来的结果并不完美。 A票据似乎略高于预期：

-----
440.0
466.1637615180899
493.8833012561241
523.2511306011974
554.3652619537443
587.3295358348153
622.253967444162
659.2551138257401
698.456462866008
739.988845423269
783.9908719634989
830.6093951598906
-----
880.0000000000003
932.3275230361802
987.7666025122486
1046.502261202395
1108.7305239074888
1174.6590716696307
1244.5079348883241
1318.5102276514804
1396.9129257320162
1479.9776908465383
1567.981743926998
1661.2187903197814
-----
1760.000000000001
1864.6550460723606
1975.5332050244976
2093.0045224047904
2217.4610478149784
2349.3181433392624
2489.0158697766497
2637.020455302962
2793.825851464034
2959.9553816930784
3135.963487853998
3322.4375806395647

注意A频率 - 而不是880,1760，它们稍微更高。

我认为Ruby的Rational应该提供准确的计算并避免使用浮点数的舍入错误。

任何人都可以解释一下：

为什么这个结果不准确？
如何改进上述代码以获得真正准确的结果？

Answer 1

我不清楚在这个表达式中：current_freq * 2 ** Rational('1/12') Ruby是否将整个计算保留在Rational领域。在Ruby中，你得到：

2.0.0p195 :001 > current_freq = 440
 => 440
2.0.0p195 :002 >  current_freq * 2 ** Rational('1/12')
 => 466.1637615180899

计算产生一个浮点数，而不是一个Rational。如果我们保持Rational，它看起来像：

2.0.0p195 :005 > Rational( current_freq * 2 ** Rational('1/12'))
 => (4100419809895505/8796093022208)

即使你这样做：

2.0.0p195 :010 > Rational(2) ** Rational(1,12)
 => 1.0594630943592953

Ruby从Rational转向浮动。关于Rational的Ruby文档并没有清楚地描述这一点，但是给出的例子在将一个有理的分数表示为非整数时表明了这一点。这是有道理的，因为当你将一个有理数给一个有理数（分数，非整数）指数时，你很可能得到一个无理数。 2**(1/12)就是其中一例。

因此，为了保持准确性，您需要将所有内容保留在Rational领域中，一旦达到无理数，就无法实现。正如Scott Hunter建议的那样，你可以通过一些自定义函数来缩小字段以控制不准确性。目前还不清楚在这种情况下是否值得付出努力。

Answer 2

虽然我确定它正好代表1/12（作为一个分数），但是一旦你将它用作指数，你就会回到浮点状态，并且可能会回归。

我想你编写自己的幂函数，它检查指数是否为整数并明确使用乘法;至少可以照顾你的A。

Answer 3

回答问题的第二部分：

如何改进上述代码以获得真正准确的结果？

你可以用 f = 2 ^{n / 12}×440 来计算频率：

def freq(n)
  2 ** (n/12.0) * 440
end

puts (0..12).map { |n| freq(n) }

输出：

440.0
466.1637615180899
493.8833012561241
523.2511306011972
554.3652619537442
587.3295358348151
622.2539674441618
659.2551138257398
698.4564628660078
739.9888454232688
783.9908719634985
830.6093951598903
880.0

为什么我在使用Ruby Rational时会出现舍入错误？

3 个答案: