Question

我正在尝试解决Project Euler problem 401。他们唯一能找到解决方法的方法就是蛮力。我已经运行这个代码10分钟没有任何答案。任何人都可以帮助我改进它的想法。

代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#define ull unsigned long long

using namespace std;

ull sigma2(ull n);
ull SIGMA2(ull n);

int main()
{
    ull ans = SIGMA2(1000000000000000) % 1000000000;

    cout << "Answer: " << ans << endl;

    cin.get();
    cin.ignore();

    return 0;
}

ull sigma2(ull n)
{
    ull sum = 0;
    for(ull i = 1; i<=floor(sqrt(n)); i++)
    {
        if(n%i == 0)
        {
            sum += (i*i)+((n/i)*(n/i));
        }
        if(i*i == n)
        {
            sum -= n;
        }
    }
    return sum;
}

ull SIGMA2(ull n)
{
    ull sum = 0;
    for(ull i = 1; i<=n; i++)
    {
        sum+=sigma2(i);
    }
    return sum;
}

Answer 1

你错过了一些分隔符，如果a / b = c，b是a的分隔符，那么c也会是a的分隔符但是c可能大于floor(sqrt(a))，例如3＆gt; （sqrt（6））但是除以6。

然后你应该把你的楼层（sqrt（n））放在一个变量中并使用for中的变量，否则你会重新计算每个非常昂贵的操作。

Answer 2

您可以做一些简单的优化：

内联sigma2，
在循环之前计算floor(sqrt(n))（但编译器可能无论如何都要这样做），
从1到n预先计算所有整数的平方，然后使用数组查找而不是乘法

通过改变方法，您将获得更多收益。想想你想要做的事情 - 将所有整数的除数从1到n求平方。您将除数除以它们的除法，但您可以在此总和中重新组合术语。让我们按其价值对除数进行分组：

1对所有内容进行划分，以便在总和中显示n次，总计1*1*n，
2划分evens并显示n/2（整数除法！）次，总计2*2*(n/2)，
k ...将带来k*k*(n/k)总计。

因此，我们应该将k*k*(n/k) k从1加到n。

Answer 3

您可以执行的一项简单优化是，数字中会有许多重复因素。

所以首先估计一个因子中有多少个数（所有N个数）在多少个数字中，2是一个因子（N / 2） ...
其他人也一样。

只需将它们的方块与它们的频率相乘。

然后，时间复杂度将直接减少到O（N）

Answer 4

想想问题。

Bruteforce你尝试的方式显然不是一个好主意。

你应该想出更好的东西...... 是不是有任何方法如何使用一些很好的素数分解方法来加速计算？是不是有任何递归模式？试着找点什么......

Answer 5

有明显的微优化，例如++ i而不是i ++或者从循环中获取楼层（sqrt（n））（这两个浮点运算与循环中的其他整数运算相比非常昂贵），并且仅使用一次n / i（对其使用虚拟变量，然后计算虚拟的平方）。

算法中也有相当明显的简化。例如，SIGMA2（i）= SIGMA2（i-1）+ sigma2（i）。但是不要使用递归，因为你需要一个非常庞大的数字，这将无法工作，你的堆栈内存将耗尽。使用循环而不是递归。有巨大的改进潜力。

而且，有一个更大的问题 - 10 ^ 15有15位数。这个数字的平方有30位数。没有办法你可以将它存储到unsigned long long中，我认为它有20个数字。所以你需要以某种方式使用模数10 ^ 9（赋值的结束）并为你的计算获得额外的空间......

当使用蛮力时，打印每个数百万个数字的临时结果，例如，让您知道您接近最终结果的速度有多快。盲目等待10分钟并不是一个好主意。

需要一种方法来使这段代码运行得更快

5 个答案: