Python - 实现数值方程求解器（Newton-Raphson）

Question

我警告你，这可能令人困惑，我写的代码更像是一个思维导图而不是完成代码..

我正在尝试使用Newton-Raphson方法来求解方程式。 我无法弄清楚的是如何写这个

Python中的

方程式，用于计算最后一次逼近（xn）的下一个近似值（xn + 1）。我必须使用循环，越来越接近真实的答案，当近似值之间的变化小于变量h时，循环应该终止。

1. 如何编写等式的代码？

2. 当近似值不再变化时，如何终止循环？

   计算方程f的导数，在点x，精度为h（这用于求解方程式（））

   def derivative(f, x, h):
       deriv = (1.0/(2*h))*(f(x+h)-f(x-h))
       return deriv
   

   数值方程求解器

   假设循环直到近似值之差小于h

   def solve(f, x0, h):
       xn = x0
       prev = 0
   
       while ( approx - prev > h):
            xn = xn - (f(xn))/derivative(f, xn, h)
   
       return xn
   

Answer 1

这是N-R求解器的实现，扩展了你上面写的内容（完整，有效）。我添加了一些额外的行来显示正在发生的事情......

def derivative(f, x, h):
      return (f(x+h) - f(x-h)) / (2.0*h)  # might want to return a small non-zero if ==0

def quadratic(x):
    return 2*x*x-5*x+1     # just a function to show it works

def solve(f, x0, h):
    lastX = x0
    nextX = lastX + 10* h  # "different than lastX so loop starts OK
    while (abs(lastX - nextX) > h):  # this is how you terminate the loop - note use of abs()
        newY = f(nextX)                     # just for debug... see what happens
        print "f(", nextX, ") = ", newY     # print out progress... again just debug
        lastX = nextX
        nextX = lastX - newY / derivative(f, lastX, h)  # update estimate using N-R
    return nextX

xFound = solve(quadratic, 5, 0.01)    # call the solver
print "solution: x = ", xFound        # print the result

输出：

f( 5.1 ) =  27.52
f( 3.31298701299 ) =  6.38683083151
f( 2.53900845771 ) =  1.19808560807
f( 2.30664271935 ) =  0.107987672721
f( 2.28109300639 ) =  0.00130557566462
solution: x =  2.28077645501

修改 - 您还可以检查newY的值，并在“足够接近零”时停止 - 但通常您会继续这样做，直到x中的更改为<=h （你可以在数值方法中论证=符号的价值 - 我更喜欢自己更强调<，认为再多一次迭代不会受到伤害。）。

Answer 2

如果代码在＆＃39;尝试：＆＃39;无法实现并且编译器被赋予错误＆＃39; ZeroDivisionError＆＃39;然后它将执行除了ZeroDivisionError之外的代码：＆＃39;。但是，如果您想要考虑另一个编译器异常＆＃39; XYZ＆＃39;使用特定的代码实现，然后添加一个额外的＆＃39;除了XYZ：＆＃34;

 try:
    nextX = lastX - newY / derivative(function, lastX, h)
 except ZeroDivisionError:
    return newY

Answer 3

你很幸运会收敛，因为你的导数并不精确到数值精度的极限。

除了你没有防止零除之外，你的Newton-Raphson结果的实现没有错：那是你的陈述xn = xn - (f(xn))/derivative(f, xn, h)

但是，由于您使用的是近似导数，因此一旦您拥有根括号，就应该切换到不同的优化方案。因此，就Newton Raphson部分而言， 是你的终止条件。一个好的优化使用者是 brent ，它总是会在一个括号中找到一个根;即使没有衍生物。

Answer 4

  

如何编写等式的代码？

Newton-Raphson方法实际找到函数的零。要求解方程g(x) = y，必须将函数传递给求解器g(x)-y，以便当传递给求解器的函数为零时，g(x)=y。

  

当近似值不再变化时，如何终止循环？

您的代码已经这样做，因为两个近似值彼此相等时，差异将为0，小于h。

current_approx - previous_approx > h应为current_approx - previous_approx >= h，因为您希望在差异小于h时终止。还改进了变量名称。

def derivative(f, x, accuracy):
    deriv = (1.0/(2*accuracy))*(f(x+accuracy)-f(x-accuracy))
    return deriv

def solve(f, approximation, h):
    current_approx = approximation
    prev_approximation = float("inf") # So that the first time the while loop will run

    while current_approx - prev_approx >= h:
        prev_approximation = current_approx
        current_approx = current_approx - (f(current_approx))/derivative(f, current_approx, h)

    return current_approx