范围联合的长度

Question

我需要在一维坐标系中找到范围联合的长度。我有很多范围的形式[a_i，b_i]，我需要找到这些范围的并集长度。范围可以动态添加或删除，并且可以在任何状态下查询范围并集的长度。

例如：范围是：

[0-4]
[3-6]
[8-10]

输出应为8。

是否有任何合适的数据结构用于复杂性的上限：

Insertion - O(log N)
Deletion - O(log N)
Query - O(log N)

Answer 1

它不是O(lg n)，但是interval tree或segment tree会满足您的需求吗？您可以将变量的长度保留在变量中，并且在插入或删除间隔时，您可以在O(lg n + m)时间内找到其他 m 间隔与其相交的内容，然后使用该信息进行更新O(m)时间内的长度变量。

Answer 2

暂时假设您有一个包含起点和终点的排序数组，其惯例是起点位于具有相同坐标的终点之前。在您的示例中，数组将包含

0:start, 3:start, 4:end, 6:end, 8:start, 10:end

（如果有一个区间结束于3，那么3:start将在3:end之前）

要进行查询，请从左向右执行扫描，在“开始”处递增计数器并在“结束”处递减计数器。您将计数器从0增加的位置记录为S并记录为 E计数器变为零的地方。此时，您将总计数添加到S和E之间的元素数量。这也是一个点，您只需用间隔[S, E]替换前面的间隔。

现在，如果您需要插入/删除O（log n）复杂度而不是数组，则需要在平衡二叉树中存储相同的元素（坐标和开始或结束标志对）。 然后根据顺序遍历执行扫描。

查询本身保持O（n）复杂性。

Answer 3

维护频率数组。例如：如果范围是（0,2）和（1,3），则频率数组应为[1,2,2,1]。还要保持频率数组中非零元素的计数。

要插入，请增加与该范围对应的频率。从0增加到1（但不是从1增加到2等）时更新计数。

删除时，减少频率。同样更新计数。

对于查询，输出计数。

复杂性是范围的长度。