找到重心权重具有特定值的点

Question

我有三角形：a，b，c。每个顶点都有一个值：va，vb，vc。在我的软件中，用户在此三角形的内部和外部拖动点p。我使用重心坐标根据vp，p和va确定vb处的值vc。到目前为止，非常好。

现在我想限制p，以便vp在min和max范围内。如果用户选择p，其中vp是＆lt; min max或＆gt; p，我怎样才能找到最接近vp的点，其中min分别等于max或min？

编辑：以下是我测试每个点的示例。浅灰色在max / min范围内。如何找到构成max / a = 200, 180 b = 300, 220 c = 300, 300 va = 1 vb = 1.4 vc = 3.2 min = 0.5 max = 3.5 边界的线的方程？

v

修改：FWIW，到目前为止我首先使用三角形顶点w得到p的重心坐标a，b，{ {1}}，c（我认为是标准内容，但看起来像this）。然后获得vp：

u = 1 - w - v
vp = va * u + vb * w + vc * v

一切都很好。我的麻烦在于我需要min / max的线方程，因此当p超出范围时，我可以选择vp的新位置。 p的新位置是最小或最大线上距p最近的点。

请注意，p是XY坐标，vp是由三角形和每个顶点的值确定的坐标值。 min和max也是值。我需要的两个线方程将给出XY坐标，三角形确定的值为min或max。

如果在解决方案中使用重心坐标，则无关紧要。

Answer 1

诀窍是使用值与笛卡尔距离的比率来扩展每个三角形边缘，直到达到最小值或最大值。用图片更容易看到：

青色线显示三角形边缘的延伸方式，绿色Xs是最小或最大线条上的点。只有这两个点，我们知道线的斜率。黄色线条表示连接Xs与浅灰色对齐。

数学运算方式如下，首先得到vb和vc之间的值距离： valueDistBtoC = vc - vb

然后得到从b到c的笛卡尔距离： cartesianDistBtoC = b.distance（c）

然后获取从b到max的值距离： valueDistBtoMax = max - vb

现在我们可以交叉乘以得到从b到max的笛卡尔距离： cartesianDistBtoMax =（valueDistBtoMax * cartesianDistBtoC）/ valueDistBtoC

对min和a，b和c，a做同样的事情。这6点足以限制p的位置。

Answer 2

考虑您的三角形实际上是一个3D三角形，其中包含点(ax,ay,va)，(bx,by,vb)和(cx,cy,vc)。这三个点定义了一个平面，包含通过重心插值可获得的所有可能的p,vp三元组。

现在将您的约束视为另外两个平面，z>=max和z<=min。这些平面中的每一个都沿着无限线与三角形的平面相交;它们之间的无限光束，向下投射到xy平面上，表示满足约束的点的面积。一旦你有了线（向下投射），你就可以找到特定点违反了哪一个（如果有的话），然后将它移到那个约束上（沿着与约束垂直的向量）。

现在我不确定你的六边形。这不是我期望的形状。

Answer 3

从数学上讲，问题只是坐标的变化。更难的部分是为所涉及的数量找到一个好的符号。

你有两个坐标系：（x，y）是显示器的笛卡尔坐标，（v，w）是相对于矢量（ca）的圆心坐标，（ba）确定另一个（非正交） ）系统。

你需要的是找到（x，y）系统中两条线的方程，然后很容易在这些线上投射点p。

要实现这一点，您可以明确地找到要从（x，y）坐标传递到（v，w）坐标并返回的矩阵。您正在使用toBaryCoords的函数进行此计算以从（x，y）中找到坐标（v，w），并且我们可以重用该函数。 我们想要找到从 world 坐标（x，y）到重心坐标（v，w）的变换系数。它必须是

形式

v = O_v + x_v * x + y_v * y

w = O_w + x_w * x + y_w * y

即。

（v，w）=（O_v，O_w）+（x_v，y_y）*（x，y）

你可以通过计算toBaryCoord（0,0）来确定（O_v，O_w），然后通过计算坐标（1,0）找到（x_v，x_w）并找到（y_v，y_w）= toBaryCoord（1， 0） - （O_v，O_w）然后通过计算（y_v，y_w）= toBaryCoord（0,1） - （O_v，O_w）找到（y_v，y_w）。

这个计算需要调用toBaryCoord三次，但实际上每次都会在该例程中计算系数，所以你可以修改它以立即计算所有六个值。

函数vp的值可以如下计算。我将使用f代替v，因为我们使用v作为baricenter坐标。因此，在下文中，我的意思是f（x，y）= vp，fa = va，fb = vb，fc = vc。

你有：

f（v，w）= fa +（fb-fa）* v +（fc-fa）* w

即

f（x，y）= fa +（fb-fa）（O_v + x_v * x + y_v * y）+（fc-fa）（O_w + x_w * x + y_w * y）

其中（x，y）是你的点p的坐标。您可以通过插入三个顶点a，b，c的坐标来检查此等式的有效性，并验证您是否获得了三个值fa，fb和fc。请记住a的重心坐标是（0,0）因此O_v + x_v * a_x + y_v * a_y = 0等等......（a_x和a_y是点a的x，y坐标）。

如果你让

q = fa +（fb_fa）* O_v +（fc-fa）* O_w

fx =（fb-fa）* x_v +（fc-fa）* x_w

fy =（fb-fa）* y_v +（fc-fa）* y_w

你得到了

f（x，y）= q + fx * x + fy * y

请注意，q，fx和fy可以从a，b，c，fa，fb，fc计算一次，如果只改变点p的坐标（x，y），则可以重复使用它们。

现在，如果f（x，y）> gt; max，您可以轻松地在达到最大值的行上投影（x，y）。投影的坐标是：

（x'，y'）=（x，y） - [（x，y）*（fx，fy） - max + q] / [（fx，fy）*（fx，fy）]（fx ，fy）

现在。您想拥有代码。这里有一些伪 - 代码：

toBarycoord(Vector2(0,0),a,b,c,O);
toBarycoord(Vector2(1,0),a,b,c,X);
toBarycoord(Vector2(0,1),a,b,c,Y);
X.sub(O); // X = X - O
Y.sub(O); // Y = Y - O

V = Vector2(fb-fa,fc-fa);

q =  fa + V.dot(O); // q = fa + V*O
N = Vector2(V.dot(X),V.dot(Y)); // N = (V*X,V*Y)

// p is the point to be considered

f = q + N.dot(p); // f = q + N*p

if (f > max) {
  Vector2 tmp;
  tmp.set(N);
  tmp.multiply((N.dot(p) - max + q)/(N.dot(N))); // scalar multiplication
  p.sub(tmp);
}

if (f < min) {
  Vector2 tmp;
  tmp.set(N);
  tmp.multiply((N.dot(p) - min + q)/(N.dot(N))); // scalar multiplication
  p.sum(tmp);
}

Answer 4

我们想到的问题如下：三个点被解释为一个三角形漂浮在3D空间取值为Z轴，并映射到X轴的直角坐标和Y轴分别。

然后问题是找到由三个点定义的平面的梯度。平面与z = min和z = max平面相交的线是您想要限制点的线。

如果你找到了一个点p，其中v（p）＆gt; max或v（p）＆lt;我们需要朝着最陡的斜坡（渐变）方向前进，直到v(p + k * g) = max或分钟。 g是渐变的方向，k是我们需要找到的因素。您要查找的坐标（在笛卡尔坐标系中）是p + k * g的相应组件。

为了确定g，我们计算垂直于平面的正交向量，该平面由三个点使用叉积确定：

// input:  px, py, pz, 
// output: p2x, p2y

// local variables
var v1x, v1y, v1z, v2x, v2y, v2z, nx, ny, nz, tp, k,

// two vectors pointing from b to a and c respectively
v1x = ax - bx;
v1y = ay - by;
v1z = az - bz;

v2x = cx - bx;
v2y = cy - by;
v2z = cz - bz;

// the cross poduct
nx = v2y * v1z - v2z * v1y;
ny = v2z * v1x - v2x * v1z;
nz = v2x * v1y - v2y * v1x;

// using the right triangle altitude theorem
// we can calculate the vector that is perpendicular to n
// in our triangle we are looking for q where p is nz, and h is sqrt(nx*nx+ny*ny)
// the theorem says p*q = h^2 so p = h^2 / q  - we use tp to disambiguate with the point p - we need to negate the value as it points into the opposite Z direction
tp = -(nx*nx + ny*ny) / nz;

// now our vector g = (nx, ny, tp) points into the direction of the steepest slope 
// and thus is perpendicular to the bounding lines

// given a point p (px, py, pz) we can now calculate the nearest point p2 (p2x, p2y, p2z) where min <= v(p2z) <= max

if (pz > max){
  // find k
  k = (max - pz) / tp;
  p2x = px + k * nx;
  p2y = py + k * ny;
  // proof: p2z = v = pz + k * tp = pz + ((max - pz) / tp) * tp = pz + max - pz = max
} else if (pz < min){
  // find k
  k = (min - pz) / tp;
  p2x = px + k * nx;
  p2y = py + k * ny;
} else {
  // already fits
  p2x = px;
  p2y = py;
}

请注意，显然如果三角形是垂直方向的（在2D中它实际上不再是三角形），nz变为零并且无法计算tp。这是因为不再有两行，其中值分别为最小值或最大值。在这种情况下，您必须在剩余的线或点上选择另一个值。