如何使用Z3和CVC4与SMT -LIB来证明二面体组D3的定理

Question

在先前的post一个定理中，使用Z3 SMT-LIB的二面体组D3被证实。在这篇文章中，我们尝试使用以下SMT-LIB代码使用Z3和CVC4来证明这样的定理：

(set-logic AUFNIRA)
(set-option :produce-models true)
(set-option :incremental true)
(declare-sort S 0)
(declare-fun f (S S) S)
(declare-fun g (S) S)
(declare-fun E () S)
(declare-fun R1 () S)
(declare-fun R2 () S)
(declare-fun R3 () S)
(declare-fun R4 () S)
(declare-fun R5 () S)
(assert (forall ((x S))
            (= (f x E) x)))
(assert (forall ((x S))
            (= (f E x) x)))               
(assert (= (f R1 R1) R2))
(assert (= (f R1 R2) E))
(assert (= (f R1 R3) R4))
(assert (= (f R1 R4) R5))
(assert (= (f R1 R5) R3))
(assert (= (f R2 R1) E))
(assert (= (f R2 R2) R1))
(assert (= (f R2 R3) R5))
(assert (= (f R2 R4) R3))
(assert (= (f R2 R5) R4))
(assert (= (f R3 R1) R5))
(assert (= (f R3 R2) R4))
(assert (= (f R3 R3) E))
(assert (= (f R3 R4) R2))
(assert (= (f R3 R5) R1))
(assert (= (f R4 R1) R3))
(assert (= (f R4 R2) R5))
(assert (= (f R4 R3) R1))
(assert (= (f R4 R4) E))
(assert (= (f R4 R5) R2))
(assert (= (f R5 R1) R4))
(assert (= (f R5 R2) R3))
(assert (= (f R5 R3) R2))
(assert (= (f R5 R4) R1))
(assert (= (f R5 R5) E))
(assert (= (g E) E))
(assert (= (g R1) R2))
(assert (= (g R2) R1))
(assert (= (g R3) R3))
(assert (= (g R4) R4))
(assert (= (g R5) R5))
(check-sat)
(get-model)
(get-value ((f (f R3 R1) (g R3))))
(get-value (R2))
(assert (not (= (f (f R3 R1) (g R3)) R2))) 
(check-sat) 

使用Z3或CVC4执行此代码时，可获得正确的结果。使用Z3在线here

运行此代码

问题是：

1. 在Z3的情况下，生成消息unsupported ; :incremental。这条消息似乎不会改变结果，为什么？

2. 在CVC4的情况下，在Z3产生unknown时产生消息sat。同样，这条消息似乎不会改变结果，为什么？

3. 如何使用Mathsat执行SMT-LIB代码。

Answer 1

关于问题1，选项:incremental不是SMT-LIB 2.0标准的一部分。该标准定义/建议所有求解器应支持的一小组选项，而:incremental不是其中之一。这可能是CVC4特定选项。 Z3只是忽略了这个命令。而且，Z3不需要用户启用增量求解。

关于问题2，SMT-LIB 2.0标准表示check-sat：unsat，sat和unknown有3种可能的输出。当求解器无法确定断言集是否可满足时，将使用unknown结果。一些求解器即使在产生unknown时也产生“候选模型”。

据我所知，MathSAT 5还不支持量词。但是，这将在未来发生变化。

Answer 2

Mathsat似乎产生了正确的结果，但它会生成消息：