Question

在我的Python代码中，我使用numpy.linalg.svd来计算某些数据的SVD：

from numpy import linalg
(_, _, v) = linalg.svd(m)

由此返回的V矩阵是：

[[ 0.4512937  -0.81992002 -0.35222884]
 [-0.22254721  0.27882908 -0.93419863]
 [ 0.86417981  0.4999855  -0.05663711]]

在将我的代码移植到C ++时，我转而使用Armadillo来计算SVD：

#include <armadillo>

arma::fmat M; // Input data
arma::fmat U;
arma::fvec S;
arma::fmat V;
arma::svd(U, S, V, M);

相同数据的结果V是：

  0.4513  -0.2225  -0.8642
 -0.8199   0.2788  -0.5000
 -0.3522  -0.9342   0.0566

我们可以看到，来自犰狳的V的转置与来自NumPy的V匹配。除此之外，对于来自犰狳的V的最后一列。这些值与NumPy结果的最后一行中的值具有相反的符号。

这里发生了什么？为什么两个流行的库的SVD结果不同？哪两个是正确的结果？

Answer 1

两者都是正确的...你从numpy得到的v行是M.dot(M.T)的特征向量（转置在复杂情况下是共轭转置）。特征向量在一般情况下仅定义为乘法常数，因此您可以将v的任何行乘以不同的数字，它仍然是一个特征向量矩阵。

v上有一个额外的约束，它是unitary matrix，它松散地转换为正交的行。这会将每个特征向量的可用选择减少到仅2：指向任一方向的归一化特征向量。但是你仍然可以将任意行乘以-1并且仍然有一个有效的v。

如果您想为矩阵测试它，我已将其加载为a：

>>> u, d, v = np.linalg.svd(a)
>>> D = np.zeros_like(a)
>>> idx = np.arange(a.shape[1])
>>> D[idx, idx] = d
>>> np.allclose(a, u.dot(D).dot(v))
True
>>> v[2] *= -1
>>> np.allclose(a, u.dot(D).dot(v))
True

实际上，您只能在实域中将v的行乘以-1，但在复杂的情况下，您可以将它们乘以任意复数的绝对值1：

>>> vv = v.astype(np.complex)
>>> vv[0] *= (1+1.j)/np.sqrt(2)
>>> np.allclose(a, u.dot(D).dot(v))
True

为什么犰狳的SVD结果与NumPy不同？

1 个答案: