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考虑以下问题：

如果您可以一次采取一个步骤或一次采取两个步骤，您可以通过多少种方式进行n步骤的阶梯？

解决方案1：让我们为这个问题构建一个递归关系。很明显，重复发生的情况如下：a(n) = a(n-1) + a(n-2);其中a(1)=1和a(2)=2 因此，n的答案将是(n+1)th斐波纳契术语。

解决方案2：攀爬梯子的每种独特方式对应于1和2的唯一序列，其加起来为n。因此，这样的序列的数量将是我们的答案。让我们开始计算这样的序列：

没有2 = $ {n \choose 0 } $ 的序列数一个序列的数量2 = $ {n-1 \choose 1 } $ 。

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。
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等等。
如果是偶数n，则最后一项为 $ {n/2 \choose n/2 } $ 对于奇数n，它将是 $ {(n+1)/2 \choose (n-1)/2 } $ 如您所见，这些是帕斯卡三角形中的对角线项。

由于这两种解决方案计算的结果相同，因此它们必须相等。因此，我们得到了斐波那契数与帕斯卡三角形的对角线之间的关系。