Question

你可以用立方体制作稳定的塔，不要把它放得更小，而不能把它放得更重一些。

编写一个程序，从N个立方体中为您提供最高的塔。

输入txt的第一行包含多维数据集的数量。（1＆lt; = n＆lt; = 100）在以下N行中，有立方体的长度和重量。

示例：

Input.txt       Output.txt (from bottom to top)
5               3
10 3            20 5
20 5            10 3
15 6            10 2
15 1
10 2

内存限制：16 mb运行时间：0.2秒

你能帮助我吗？

Answer 1

有不同的方法可以解决这个问题。这是天真的方式，在伪代码中效率相当低：

// `Input` is a list of `Cube` who have a `Size` and `Weight` property

int largestStack(input_cubes_left, currentCube)
{
   max = 0 // at worst, there are no cubes that fit on top of currentCube
   foreach (cube in input_cubes_left)
   {
      // skip all cubes which don't fit
      if (cube.Size <= current.Size and cube.Weight <= current.Weight)
      {

        // measure the stack with currentCube, this cube, and whatever is left
        size = 1 + largestStack(input_cubes_without_cube, cube)

        // but of course we only count the ones 
        // which are bigger than our best result
        if size>max 
          max = size
      }
   }
   return max;
}

当然，这是一种简化的解决方案，可以检查所有可能的组合（N阶乘！）。以下是一些让您开始优化它的问题：

如何利用排序来避免检查大量无效组合？
如何利用Linq在功能上解决这个问题？

Answer 2

算法

我想出的算法通过使用有序对的列表来工作。这些对首先按一个元素排序，然后按第二个排序。

我们维护对的列表，其中每个新对都是：

添加到最高列表的末尾，如果它可以放在最后一个元素之后
添加到新列表的末尾，该列表是在其中一个现有列表中找到的最高段的副本，可以附加到该列表
如果无法放入现有列表中的任何位置，则会添加到新列表中。

证明

第一个元素将进入一个新列表，这将是最高的。
n -th元素将转到最高列表（或列表段）的末尾，使其成为该元素的最高列表。
n 之后的第一个元素，元素 k ，可以使用 n 将附加到包含 n 的最高列表，因为2.如果某个更高的列表存在，则元素<可以附加 k 元素的strong> i ，然后将规则2应用于元素 i 即可。这使得带有 k 的列表成为该元素的最高列表。

通过归纳，这证明了算法的概念。

伪代码

foreach ordered pair
    maximumIndex <- 0
    maximumList <- null
    foreach list
        highest, length <- FindLongestPath(list, pair)
        if highest > maximumHeight
            maximumHeight<- highest 
            maximumIndex <- lenght
            maximumList <- list
    if maximumIndex = 0
        lists.add(new list{pair});
    else if maximumIndex < maximumList.Length
        lists.add(new list{maximumList[0..maximumIndex - 1] + pair});
    else
        list.add{pair};

FindLongestPath方法在列表中搜索该对可以容纳的第一个位置，并使用它返回该段的高度。通过简单的应用程序（从开始到找到位置for），我估计在最坏的情况下算法的复杂度为O（N ^ 2）。

如果实现为二进制搜索，我猜想复杂度为O（N log N），但是对于N <= 100，它并不重要。

实际代码

由于没有人喜欢破译其他人的伪代码，这里是在pastebin上实际运行的C＃代码：http://pastebin.com/3vLn343j

文件“Input.txt”（在问题中格式化）应与可执行文件位于同一目录中（在Visual Studio中，您可以将其放在解决方案根目录中，并在属性集“复制到输出”中设置为'复制如果更新'）。

Answer 3

首先，让我们假设没有相等的立方体（具有相同长度/重量的立方体），按照以下定义构建一个有向图：

图表中每个多维数据集的一个节点
如果立方体B可以放在立方体A上，则添加边缘（A - > B）

很容易知道这是一个DAG（http://en.wikipedia.org/wiki/Directed_acyclic_graph）

原始问题等于在DAG中找到最长路径。我们可以使用动态编程来解决这个问题。

回到假设，即使考虑相同的立方体，我们也可以稍微改变以覆盖相等的立方体。（每个节点都有属性 - equalCount，等于立方体的数量。并将最长路径定义更新为沿路径的equalCount之和，以替换原始定义：沿路径的节点数）

从立方体建造塔

3 个答案:

算法

证明

伪代码

实际代码