需要帮助解决python中的二阶非线性ODE

Question

我真的不知道从哪里开始这个问题，因为我没有太多经验，但需要使用计算机解决项目的这一部分。

我有二阶ODE，即：

m = 1220

k = 35600

g = 17.5

a = 450000

和b介于1000和10000之间，增量为500。

x(0)= 0 

x'(0)= 5


m*x''(t) + b*x'(t) + k*x(t)+a*(x(t))^3 = -m*g

我需要找到最小的b，这样解决方案永远不会是积极的。我知道图形应该是什么样的，但我只是不知道如何使用odeint来获得微分方程的解。 这是我到目前为止的代码：

from    numpy    import    *    
from    matplotlib.pylab    import    *    
from    scipy.integrate    import    odeint

m = 1220.0
k = 35600.0
g  = 17.5
a = 450000.0
x0= [0.0,5.0]

b = 1000

tmax = 10
dt = 0.01

def fun(x, t):
    return (b*x[1]-k*x[0]-a*(x[0]**3)-m*g)*(1.0/m)
t_rk = arange(0,tmax,dt)   
sol = odeint(fun, x0, t_rk)
plot(t_rk,sol)
show()

这并没有真正产生太多任何东西。

有什么想法？感谢

Answer 1

要使用scipy.integrate.odeint解决二阶ODE，您应该将其编写为一阶ODE系统：

我将定义z = [x', x]，然后定义z' = [x'', x']，那就是你的系统！当然，你必须插入你真实的关系：

x'' = -(b*x'(t) + k*x(t) + a*(x(t))^3 + m*g) / m

变为：

  

z[0]' = -1/m * (b*z[0] + k*z[1] + a*z[1]**3 + m*g)
    z[1]' = z[0]

或者，只需将其称为d(z)：

def d(z, t):
    return np.array((
                     -1/m * (b*z[0] + k*z[1] + a*z[1]**3 + m*g),  # this is z[0]'
                     z[0]                                         # this is z[1]'
                   ))

现在您可以将其提供给odeint：

_, x = odeint(d, x0, t).T

（_是我们制作的x'变量的空白占位符。

为了最大限度地减少b受限制，x的最大值始终为负，您可以使用scipy.optimize.minimize。我将通过实际最大化x的最大值来实现它，但受限于它仍为负值，因为我无法想到如何在不能反转函数的情况下最小化参数。

from scipy.optimize import minimize
from scipy.integrate import odeint

m = 1220
k = 35600
g = 17.5
a = 450000
z0 = np.array([-.5, 0])

def d(z, t, m, k, g, a, b):
    return np.array([-1/m * (b*z[0] + k*z[1] + a*z[1]**3 + m*g), z[0]])

def func(b, z0, *args):
    _, x = odeint(d, z0, t, args=args+(b,)).T
    return -x.max()  # minimize negative max

cons = [{'type': 'ineq', 'fun': lambda b: b - 1000, 'jac': lambda b: 1},   # b > 1000
        {'type': 'ineq', 'fun': lambda b: 10000 - b, 'jac': lambda b: -1}, # b < 10000
        {'type': 'ineq', 'fun': lambda b: func(b, z0, m, k, g, a)}] # func(b) > 0 means x < 0

b0 = 10000
b_min = minimize(func, b0, args=(z0, m, k, g, a), constraints=cons)

Answer 2

我认为你不能解决你所说的问题：你的初始条件x = 0和x' > 0意味着解决方案对于非常接近起点的某些值是正的。所以没有b解决方案永远不会是正面的......

除此之外，要解决二阶微分方程，首先需要将其重写为两个一阶微分方程组。定义y = x'我们可以将您的单个等式重写为：

x' = y
y' = -b/m*y - k/m*x - a/m*x**3 - g

x[0] = 0, y[0] = 5

所以你的函数应该是这样的：

def fun(z, t, m, k, g, a, b):
    x, y = z
    return np.array([y, -(b*y + (k + a*x*x)*x) / m - g])

你可以解决并绘制你的方程式：

m, k, g, a = 1220, 35600, 17.5, 450000
tmax, dt = 10, 0.01
t = np.linspace(0, tmax, num=np.round(tmax/dt)+1)
for b in xrange(1000, 10500, 500):
    print 'Solving for b = {}'.format(b)
    sol = odeint(fun, [0, 5], t, args=(m, k, g, a, b))[..., 0]
    plt.plot(t, sol, label='b = {}'.format(b))
plt.legend()