Question

我最近遇到了以下问题：

如果有三个连续的字母，其中一个是A，一个是B，则称一个字符串被禁止一个是C.例如BAAAACABCC是禁止的，但AAABBBCCC不是。你得到一个整数n。你必须找到多少长度为n的字符串是不被禁止的。（n将从1到30）
示例：如果n = 2，则禁止任何字符串。所以输出是9。

我试过但找不到有效的解决方案。我为此写了一个暴力算法，其中我检查所有可能的这样的字符串，但由于它是一个指数算法，它是该死的慢。您可以找到我的代码here

有人可以为我指导一个有效的算法，可能使用动态编程或任何其他方式。

谢谢

Answer 1

从系列的外观来看：3,9,21,51,123下一个数字是123 * 2 + 51 = 297

Answer 2

动态编程可以在这里应用。

假设你知道n = k的非禁止序列的数量。现在，如果您添加另一个字母，那么组合的数量将变为3k。但是你必须放弃被禁止的新组合。

任何序列的最后两个字母可以是：

ab
ac
bc
ba
ca
cb
bb
aa
cc

似乎形成了你提供的系列要丢弃的组合数（k + 1）=（k）

的新增加的数量

编辑：为什么会这样？从3k组合中说，我们首先丢弃k组合，说出我们将丢弃1/3的所有先前序列。

现在废弃了这些k组合，有一些组合在末尾有一个重复的字母（aa，bb或cc）。我们不必丢弃那些序列。

这些序列的数量应该等于（k-1）的非禁止序列的数量，因为对于我们为n = k做的每个新序列，我们可以有一个且只有一个重复的新序列信。

Hence if f(k) = number of unforbidden combinations for n = k, then f(k + 1) = 3f(k) - [f(k)-f(k-1)]. For example for n=3 the number of sequences with repeated letter at the end shall be 9. For n=4 the number of sequences with repeated letter at the end shall be 21. ... and so on.

Answer 3

这种动态编程方法如何，其中C[x,y]表示长度为x的非禁止字符串的数量，以两个字符序列y结尾：

C [n, 'AA'] = C[n-1, 'AA'] + C[n-1, 'AB'] + C[n-1, 'AC']
C [n, 'AB'] = C[n-1, 'BA'] + C[n-1, 'BB']
C [n, 'AC'] = C[n-1, 'CA'] + C[n-1, 'CB'] + C[n-1, 'CC']
C [n, 'BA'] = C[n-1, 'AA'] + C[n-1, 'AB'] + C[n-1, 'AC']
C [n, 'BB'] = C[n-1, 'BA'] + C[n-1, 'BB'] + C[n-1, 'BC']
C [n, 'BC'] = C[n-1, 'CA'] + C[n-1, 'CB'] + C[n-1, 'CC']
C [n, 'CA'] = C[n-1, 'AA'] + C[n-1, 'AB'] + C[n-1, 'AC']
C [n, 'CB'] = C[n-1, 'BA'] + C[n-1, 'BB'] + C[n-1, 'BC']
C [n, 'CC'] = C[n-1, 'CA'] + C[n-1, 'CB'] + C[n-1, 'CC']

边界条件n >= 3, C[3, x] = 3, C[3, 'AB'] = 2？

一个简单的程序，不确定是否正确，但肯定会冒一些低估的风险，如果它是错的，呵呵：）

#include <iostream>

unsigned int C[100][9];

// AA  0
// AB  1
// AC  2
// BA  3
// BB  4
// BC  5
// CA  6
// CB  7
// CC  8

void
calc (unsigned int n) {
    unsigned int i;
    for (i = 0; i < 9; ++i)
        C[3][i] = 3;
    C[3][1] = 2;

    for (i = 4; i <= n; ++i) {
        C[i][0] = C[i-1][0] + C[i-1][1] + C[i-1][2];
        C[i][1] = C[i-1][3] + C[i-1][4];
        C[i][2] = C[i-1][6] + C[i-1][7] + C[i-1][8];
        C[i][3] = C[i-1][0] + C[i-1][1] + C[i-1][2];
        C[i][4] = C[i-1][3] + C[i-1][4] + C[i-1][5];
        C[i][5] = C[i-1][6] + C[i-1][7] + C[i-1][8];
        C[i][6] = C[i-1][0] + C[i-1][1] + C[i-1][2];
        C[i][7] = C[i-1][3] + C[i-1][4] + C[i-1][5];
        C[i][8] = C[i-1][6] + C[i-1][7] + C[i-1][8];
    }
}

// C [n, 'AA'] = C[n-1, 'AA'] + C[n-1, 'AB'] + C[n-1,'AC']
// C [n, 'AB'] = C[n-1, 'BA'] + C[n-1, 'BB']
// C [n, 'AC'] = C[n-1, 'CA'] + C[n-1, 'CB'] + C[n-1, 'CC']
// C [n, 'BA'] = C[n-1, 'AA'] + C[n-1, 'AB'] + C[n-1, 'AC']
// C [n, 'BB'] = C[n-1, 'BA'] + C[n-1, 'BB'] + C[n-1, 'BC']
// C [n, 'BC'] = C[n-1, 'CA'] + C[n-1, 'CB'] + C[n-1, 'CC']
// C [n, 'CA'] = C[n-1, 'AA'] + C[n-1, 'AB'] + C[n-1, 'AC']
// C [n, 'CB'] = C[n-1, 'BA'] + C[n-1, 'BB'] + C[n-1, 'BC']
// C [n, 'CC'] = C[n-1, 'CA'] + C[n-1, 'CB'] + C[n-1, 'CC']



int
main () {
    for (unsigned int i = 3; i < 10; ++i) {
        calc (i);

        unsigned int s = 0;
        for (unsigned int j = 0; j < 9; ++j)
            s += C[i][j];
        std::cout << s << " ";
    }
}

Answer 4

i >= 2：

令same[i]为允许（即非禁止）长度为i的字符串数，以两个相同的字符结尾。
设diff[i]为允许的长度为i的字符串数，以两个不同的字符结尾。

然后same[2] = 3，diff[2] = 6和i >= 2，

same[i+1] = same[i] + diff[i]  
diff[i+1] = 2 * same[i] + diff[i]

我们想要的是n[i] = s[i] + d[i];上面的等式给我们

n[2] = 9
n[i+1] = 2 * n[i] + n[i-1]

使用此功能，您可以在基本线性时间内计算n[i]。

寻找禁止字符串计划

4 个答案: