Question

在XKCD comic 195中，使用Hilbert curve建议了互联网地址空间地图的设计，以便来自类似IP地址的项目将聚集在一起。

给定一个IP地址，如何在这样的地图上计算其2D坐标（在0到1的范围内）？

Answer 1

这非常简单，因为希尔伯特曲线是分形的，也就是说，它是递归的。它通过水平和垂直平分每个方块，将其分成四个部分来工作。因此，您从左侧开始一次取两位IP地址，并使用它们来确定象限，然后继续使用接下来的两位，使用该象限而不是整个方块，依此类推，直到您拥有耗尽了地址中的所有位。

每个方格的曲线的基本形状是马蹄形的：

 0 3
 1 2

其中数字对应于前两位，因此确定遍历顺序。在xkcd地图中，此正方形是最高级别的遍历顺序。可能旋转和/或反射，这种形状出现在每个2x2的正方形。

确定“马蹄铁”在每个子方格中的定向方式取决于一条规则：0方的0角位于较大方块的角落。因此，必须按顺序遍历与0对应的子方格

 0 1
 3 2

并且，查看整个前一个方块并显示四位，我们得到以下形状用于广场的下一个分区：

 00 01 32 33
 03 02 31 30
 10 13 20 23
 11 12 21 22

这就是广场总是在下一个级别划分的方式。现在，继续，只关注后两位，根据这些位的马蹄形状如何定向，定义更详细的形状，并继续进行类似的划分。

为了确定实际坐标，每两位确定实数坐标中的一位二进制精度。因此，在第一级，如果地址的前两位具有，则[0,1]坐标中的二进制点之后的第一位（假设x范围内的坐标）为0值0或1，否则为1。同样，如果前两位的值为y或0，则1坐标中的第一位为2。要确定是否在坐标中添加0或1位，您需要检查该级别的马蹄形方向。

编辑：我开始计算算法，事实证明它毕竟不是那么难，所以这里有一些伪C。它是伪的，因为我对二进制常量使用b后缀并将整数视为位数组，但将其更改为正确的C应该不会太难。

在代码中，pos是方向的3位整数。前两位是方形中0的x和y坐标，第三位指示1是否具有与0相同的x坐标。 pos的初始值为011b，表示0的坐标为(0, 1)，1的坐标与0具有相同的x坐标。 ad是地址，被视为2位整数的n - 元素数组，从最高位开始。

double x = 0.0, y = 0.0;
double xinc, yinc;
pos = 011b;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    switch (ad[i]) {
        case 0: xinc = pos[0]; yinc = pos[1]; pos[2] = ~pos[2]; break;
        case 1: xinc = pos[0] ^ ~pos[2]; yinc = pos[1] ^ pos[2]; break;
        case 2: xinc = ~pos[0]; yinc = ~pos[1]; break;
        case 3: xinc = pos[0] ^ pos[2]; yinc = pos[1] ^ ~pos[2];
            pos = ~pos; break;
    }
    x += xinc / (1 << (i+1)); y += yinc / (1 << (i+1));
}

我用几个8位前缀对它进行了测试，并根据xkcd地图正确放置它们，所以我有点相信代码是正确的。

Answer 2

基本上你会使用位对，MSB到LSB来分解数字。这对位告诉您位置是在左上（0）左下（1）右下（2）还是右上（3）象限，当您在数字中移动时，该比例变得更精细。

此外，您需要跟踪“方向”。这是用于您所在规模的绕组;初始绕组如上（UL，LL，LR，UR），并且根据您最终进入的象限，下一个缩小的绕组是（当前绕组旋转-90,0,0，+ 90）

所以你可以积累抵消：

假设我从0,0开始，第一对给我一个2，我将偏移量偏移到0.5,0.5。右下方的绕组与我的初始绕组相同。下一对减小了比例，因此我的调整长度为0.25。

这对是3，所以我只翻译我的x坐标，我是.75，.5。绕组现在旋转，我的下一个缩小将是（LR，LL，UL，UR）。现在规模是.125，依此类推，直到我的地址用完为止。

Answer 3

我希望根据wikipedia code for a Hilbert curve，您可以跟踪当前位置（作为（x，y）坐标）并在访问n个单元格后返回该位置。那么缩放到[0..1]的位置将取决于Hilbert曲线在完成时的高度和宽度。

from turtle import left, right, forward

size = 10

def hilbert(level, angle):
    if level:
        right(angle)
        hilbert(level - 1, -angle)
        forward(size)
        left(angle)
        hilbert(level - 1, angle)
        forward(size)
        hilbert(level - 1, angle)
        left(angle)
        forward(size)
        hilbert(level - 1, -angle)
        right(angle)

不可否认，这将是一个强力解决方案，而不是封闭形式的解决方案。

实现互联网的希尔伯特地图

3 个答案: