Question

我有两个矢量对（旋转前后）。

旋转前

： [X1，Y1，Z1] [X2，Y2，Z2]

旋转后

： [X1' ，Y1' ，Z1' ] [X2' ，Y2' ，Z2' ]

如何创建表示此旋转的四元数？

Answer 1

那么，首先你可以使用向量乘法（交叉乘法）找到旋转轴：

axis = v1 x v2;

然后你可以计算旋转角度：

sinA = |axis| / |v1|*|v2|
cosA = v1 . v2 / |v1|*|v2|

这里| | - 是矢量长度操作，和。 - 是点乘法

最后，你的四元数是：

Q(w,x,y,z) = (cosA, axis.x * sinA, axis.y * sinA, axis.z * sinA)

Answer 2

在大多数情况下，没有旋转将2个向量转换为2个其他向量。这是一种可视化原因的简单方法：旋转不会改变矢量之间的角度。如果旋转前2个矢量之间的角度与旋转后2个矢量之间的角度不同，则没有符合您标准的旋转。

这就是说可能存在一个具有可接受误差的最佳四元数，它几乎“旋转”你的2个矢量对。有许多算法在速度和精度上有所不同以找到这样的四元数。我为Arduino应用程序编写了一个快速C ++算法，其中速度很关键，但精度不太重要。

http://robokitchen.tumblr.com/post/67060392720/finding-a-rotation-quaternion-from-two-pairs-of-vectors

旋转前：u0，v0。轮换后：u2，v2。

Quaternion q2 = Quaternion::fromTwoVectors(u0, u2);
Vector v1 = v2.rotate(q2.conjugate());
Vector v0_proj = v0.projectPlane(u0);
Vector v1_proj = v1.projectPlane(u0);
Quaternion q1 = Quaternion::fromTwoVectors(v0_proj, v1_proj);
return (q2 * q1).normalized();

如果这不符合您自己的应用程序的要求，请尝试google Wabha的问题。

Answer 3

我将marcv81非常有用的博客文章翻译成Three.js：

const rotateVectorsSimultaneously = (u0, v0, u2, v2) => {
    const q2 = new THREE.Quaternion().setFromUnitVectors(u0, u2);

    const v1 = v2.clone().applyQuaternion(q2.clone().conjugate());

    const v0_proj = v0.projectOnPlane(u0);
    const v1_proj = v1.projectOnPlane(u0);

    let angleInPlane = v0_proj.angleTo(v1_proj);
    if (v1_proj.dot(new THREE.Vector3().crossVectors(u0, v0)) < 0) {
        angleInPlane *= -1;
    }
    const q1 = new THREE.Quaternion().setFromAxisAngle(u0, angleInPlane);

    const q = new THREE.Quaternion().multiplyQuaternions(q2, q1);
    return q;
};

由于angleTo始终返回正值，因此我根据u0-v0平面v1的哪一侧在边上手动翻转角度的符号。 / p>

Answer 4

针对此问题的成熟解决方案称为 Triad 。 Triad是解决航天器姿态确定问题的最早，最简单的方法之一，并且计算效率很高。

使用Triad的想法是用成对的三个向量替换成对的两个向量集，其中多余的向量与叉积生成。通过对向量进行归一化，您可以求解没有矩阵逆或SVD的旋转矩阵（在问题的更一般情况下需要-请参见 Wahba问题）

有关完整算法，请参见：https://en.wikipedia.org/wiki/Triad_method

然后您可以将求解的旋转矩阵从Triad转换为旋转四元数：

qw = √(1 + m00 + m11 + m22) /2 qx = (m21 - m12)/( 4 *qw) qy = (m02 - m20)/( 4 *qw) qz = (m10 - m01)/( 4 *qw)

通常，为了使四元数转换更可靠，您应该考虑查看矩阵轨迹，如下所述：http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/rotations/conversions/matrixToQuaternion/

最后，考虑使用Triad的替代方法，直接计算最优四元数称为 QUEST 。

Answer 5

可以找到从v1到v2的四元数。

最后一个q = (cos A/2, sin A/2 * axis)，其中A是v1和v2之间的夹角，axis是标准轴。

将两边都乘以2 * cos A/2，

那么我们有 2 * cos A/2 *q = (1+cos A, sin A * axis)

（其中cos A = dot(v1, v2)/|v1|/|v2|和 axis = cross(v1, v2).normalize() = cross(v1, v2)/|v1|/|v2|/sin A。）

然后2 * cos A/2 *q = (1+dot(v1, v2)/|v1|/|v2|, cross(v1, v2)/|v1|/|v2|)

最后q = (1+dot(v1, v2)/|v1|/|v2|, cross(v1, v2)/|v1|/|v2|).normalize()

两个向量对的四元数

5 个答案: