Question

我正在为我的期中考试，其中一个练习题是：

考虑递归伪算法Milk（a），它将输入整数a> = 1。

MILK(a)
    if a = 1;
    then eat cookie;
    else drink glass of milk;
       select a random integer b with 1 <= b <= a-1
       MILK(b);
       MILK(a-b);
    endif

1）解释为什么任何整数a＆gt; = 1算法MILK（a）终止

我认为对于这个因为n-1，对于递归函数MILK（b）的输入，m的可能性变得越来越小;最终达到满足条件a = 1的1;因此，吃一个cookie，从而终止算法。

2）让M（a）为运行MILK时饮用的牛奶量（a）。确定M（a）

的确切值

对于这个我假设它将是M（a）= a + a，因为每次你运行'a'是输入并且将每个输入加在一起将给你总数。

我的答案如何？或者这完全不正确。谢谢！

Answer 1

对于第二个问题，您可以使用总概率定律（转移到预期值 - 您可能必须搜索此值）。

M(a)表示眼镜的数量（如您所建议的那样），E()是某物的预期值。然后，这个总概率定律得出：

E(M(a)) = sum(E(M(a) | b=i) * Pr(b=i), i=1..a-1) =
        = ... =
        = 1/(a-1) * (1+sum(E(M(i)+M(a-i), i=1..a-1)))

据我了解，基本案例M(1)=0成立。

如果你转换上面的递归关系并尝试它（例如在一个小的python程序中），你应该能够识别一个可以通过归纳证明的简单模式。

Answer 2

第一个答案很好。

然而，第二个不是。考虑a=1。你的答案是两杯或牛奶，而正确的答案是零。提示：尝试手工处理一些小例子，以了解算法中发生的事情。

Answer 3

对于您的第一个问题，请注意下面的两个表达式都小于a，并且当a等于1时递归停止，您可以观察到有多少次调用milk（）？它有限吗？

b < a
a-b < a
MILK(1) returns (no recursion)

手工计算几个值的牛奶饮料数量，你会看到一个模式。这会有所帮助。

请注意，随机数生成会增加复杂性，但问问自己，如果选择b = 1，b = 2，b = a / 2或b = a-1，结果会有所不同吗？

你的回答是正确的，但上述内容可以帮助你解释你的推理。

一旦你计算了几次打电话给MILK（v）的饮料数量，你应该可以推进MILK（v）=公式（v）的公式。

尝试MILK（3），MILK（4），MILK（5），MILK（9），

请注意，Ruby可以用很少的语法来表达你的算法，

rdm = Random.new
def milk(a)
    if(a==1) then
        print "eat cookie\n";
    else
        print "drink milk\n";
        b = Random.rand(1..a-1)
        print "rand (1,#{a-1}) #{b}\n";
        milk(b)
        milk(a-b)
    end
end
ARGV.each { |argi| milk(argi.to_i); }

Answer 4

提示：计算M（a）的前几个值。了解封闭式公式。通过归纳证明。

下一个提示：请注意，值是否取决于b的每个选项？

伪代码递归函数

4 个答案: