高阶统一

Question

我正在研究一个更高阶的定理证明器，其中统一似乎是最困难的子问题。

如果Huet的算法仍然被认为是最先进的算法，那么是否有人有任何与其解释的链接，这些解释是由程序员而不是数学家理解的？

甚至它的工作原理和通常的一阶算法都没有？

Answer 1

最先进的技术 - 是的，据我所知，所有算法或多或少与Huet的形状相同（我遵循逻辑编程理论，尽管我的专业知识是切向的）提供你需要完全高阶匹配：子问题，如高阶匹配（一个术语被关闭的统一）和Dale Miller的模式演算，是可判定的。

请注意，Huet的算法在以下意义上是最好的 - 它就像一个半决策算法，因为它会在它们存在的情况下找到它们，但如果它们不存在则不能保证终止。既然我们知道高阶统一（实际上是二阶统一）是不可判定的，那么你就不能做得更好。

解释：Conal Elliott博士论文的前四章Extensions and Applications of Higher-Order Unification应符合该法案。这部分重约80页，有一些密集类型理论，但它的动机很好，是我见过的最易读的。

示例：Huet的算法将为此示例提供货物：[X（o），Y（succ（0））];哪一种必然会困扰一阶统一算法。

Answer 2

高阶统一（实际上是二阶匹配）的一个例子是：f 3 == 3 + 3，其中==是模α，β和eta转换（但没有赋予“+”的任何含义“）。有四种解决方案：

\ x -> x + x
\ x -> x + 3
\ x -> 3 + x
\ x -> 3 + 3

相比之下，一阶统一/匹配将无法解决问题。

当与HOAS（高阶抽象语法）一起使用时，使用变量绑定编码语言，同时避免变量捕获等的复杂性，非常方便。

我第一次接触这个主题的是Gerard Huet和Bernard Lang撰写的“证明和应用二阶模式表达的程序转换”一文。我记得，这篇论文“是为了让程序员理解”。一旦你理解了二阶匹配，你就不会再进一步​​了。 Huet的一个关键结果是灵活/灵活的情况（作为一个术语的头部的变量，以及唯一没有出现在匹配中的情况）总是可以解决的。

Answer 3

我会在阅读列表中添加第2卷的章节 自动推理手册。本章可能就是这样 初学者更容易接近，并以λΠ-演算结束 Conal Elliott的论文开始了。

此处可找到预印本：

高阶统一与匹配 Gilles Dowek，2001年
http://www.lsv.fr/~dowek/Publi/unification.ps

Conal Elliott论文更正式，更专注于一个变体， 并且最后还引入了一个λΠΣ演算，它也有和类型 除了产品类型。

再见

Answer 4

还有Tobias Nipkow的1993年论文Functional Unification of Higher-Order Patterns（仅11页，其中4页是参考书目和代码附录）。摘要：

  

为所谓的高阶模式（$ \ lambda $ -terms的子类）提供了统一算法的完整开发。起点是通过变换统一的表述，结果是可直接执行的功能程序。在最后的开发步骤中，结果适用于de Bruijn符号中的$ \ lambda $ -terms。这些算法适用于简单类型和非类型化术语。