我正在寻找一种使用高斯求积法或Simpson积分在数值积分中产生重大误差的函数。
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由于Simpson和Gaussian的方法试图用一些简单的平滑函数（如二阶多项式）来拟合平滑函数，否则使用低阶多项式和其他简单的代数函数，如$$ a + 5/6 $$，有意义的是，最大的挑战是不是二阶多项式或类似于这些简单函数的函数。
步骤函数，或者更常见的是短期运行常量的函数，然后跳转到另一个值。楼梯或沃尔什函数（用于一种二元傅立叶变换）应该很有趣。只是一个简单的单步骤就不能很好地拟合任何多项式逼近。
尝试高阶多项式。只有x ^ n对于大n应该是有趣的。对于某些大的n，可能减去x ^ n - x ^（n-1）。 “大”有多大？对辛普森来说，也许是4个或更多。对于使用k个点的高斯，n> k。 （不要试图超过适度的两位数字;除了任何整合之外，这只会变成讨厌的计算。）
很少有像极点这样的数值积分方法，即类似于1 /（x-a）的函数。由于处理实际无穷大可能会遇到麻烦，因此请尝试将其从实线或复共轭对中推出。使用1 /（（x-a）^ 2 + b）进行大但有限的尖峰，其中b> 0很小。或者该表达式的平方根，或者它的正弦或指数。你可以用更大的力量取代“2”，我敢打赌那会很讨厌。
曾几何时我想测试数值积分程序。我开始使用阶梯式功能，或一系列矩形脉冲，在一些点上进行采样。
我使用Savitzky-Golay滤波器计算了近似导数。 SG可以使用相邻点的有限窗口来区分数值数据，但通常它用于平滑。它需要一个窗口大小（点数），多项式顺序（实际上是2或4，但你可能想要更高的坚果）和分化顺序（通常0到平滑，1到得到导数）。
结果是一系列脉冲，然后我将其整合。一个好的例程将重建原始的阶梯或矩形脉冲。我想如果选择正确的SG参数，你会让辛普森和高斯在他们的坟墓中滚动。
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如果您正在寻找一个难以集成的测试方法，您可以考虑CS Stack Exchange问题中的那个：
Method for numerical integration of difficult oscillatory integral
在这个问题中，其中一个答案建议使用Matlab的chebfun库，其中包含基本Levin-type method的实现。这告诉我，使用更简单的方法（例如Simpsons规则）函数会失败。