集合中互斥项的子集

Question

我有S_0, ..., S_N套。如何找到最大的子集T，以便I_i和T的交集S_i（对于每个0＆lt; = i＆lt; = N ）最多包含一个元素。

我有一个解决方案，但我猜它是不必要的慢（基本上是几个嵌套的for循环尝试所有组合）。所以我的问题是：

• 这个问题有效吗？
• 如果没有，是否有一个有效的算法可以找到大子集T？

Answer 1

我认为你不太可能找到一个有效的通用算法来解决这个问题，因为我认为它是NP完全的。

如果您有一个有效的算法来解决这个问题，那么您可以解决maximum independent set problem。

证明草图

假设您有一个图形，然后为每个边构造一个包含{i，j}的集合，其中i和j是由边缘连接的顶点。

然后，这些集合的最大子集T将是图表的最大独立集合。

转换为最大独立集

更有用的是，您还可以通过查找图的最大独立集来表达您的问题，其中a和b之间存在边，当且仅当存在包含a和b的集时。

然后，您可以使用一些标准求解器来解决最大独立集问题，例如one in Pythons NetworkX。

Answer 2

您可以通过缓存集合S_a和S_b的交集是否为空来加速您的程序。而不是构建我认为是T中的一些集合的集合S。您保留集合索引的T列表，并检查集合S_n是否与T相交，您检查T中S_n中的集合是否{{1}} 1}}与其中一个相交。

我在我的一个Python程序中这样做，因为集合交集测试是一个慢点。