Question

有没有办法生成一个函数F，给定一个序列，例如：

seq = [1 2 4 3 0 5 4 2 6]

那么F（seq）会返回一个生成该序列的函数吗？也就是说，

F(seq)(0) = 1
F(seq)(1) = 2
F(seq)(2) = 4
... and so on

此外，如果是，那么最低复杂度的功能是什么，以及生成函数的复杂性是什么？

修改好像我不清楚，所以我会试着举例说明：

F(seq([1 3 5 7 9])} 
# returns something like:
F(x) = 1 + 2*x
# limited to the domain x ∈ [1 2 3 4 5]

换句话说，我想计算一个可用于代数的函数，使用+，*等数学函数，恢复整数序列，即使你从内存中清除它。我不知道是否有可能，但是，由于人们可以很容易地编写这种函数的近似值来处理琐碎的情况，我想知道它到底有多远，以及是否有一些实际的研究。

编辑2 回答另一个问题，我只对整数序列感兴趣 - 如果这很重要。

如果还不清楚，请告诉我！

Answer 1

好吧，如果您只想知道带有“+和*”的函数，也就是多项式，您可以去维基百科查看拉格朗日多项式（https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial）。它为您提供编码序列的最低次多项式。

不幸的是，你可能无法比以前存储更少，因为多项式的概率为d = n-1，其中n是数组的大小，随机整数非常高。此外，您将不得不存储有理数而不是整数。最后，与O（1）相比，对任意数量的数组的访问将在O（d）中（使用Horner算法进行多项式评估）。

尽管如此，如果您知道您的序列可能非常简单且非常长，那么它可能是一种选择。

Answer 2

如果序列来自具有低度的多项式，则查找生成它的唯一多项式的简单方法是使用Newton's series。构造n个数的多项式具有O（n²）时间复杂度，并且评估它具有O（n）。

在牛顿系列中，多项式用x，x（x-1），x（x-1）（x-2）等表示，而不是更熟悉的x，x²，x³。为了获得系数，基本上你计算序列中后续项之间的差异，然后计算差异之间的差异，直到只剩下一个或者你得到一个全零的序列。你从底部得到的数字除以项的度数的阶乘，给出系数。例如，对于第一个序列，您会得到以下差异：

1  2  4  3  0  5   4   2    6
   1  2 -1 -3  5  -1  -2    4 
      1 -3 -2  8  -6  -1    6
        -4  1 10 -14   5    7
            5  9 -24  19    2
               4 -33  43  -17
                 -37  76  -60
                     113 -136
                         -249

因此，生成此序列的多项式为：

f(x) = 1 + x(1 + (x-1)(1/2 + (x-2)(-4/6 + (x-3)(5/24 + (x-4)(4/120 
         + (x-5)(-37/720 + (x-6)(113/5040 + (x-7)(-249/40320))))))))

这是使用其他技术获得的相同多项式，例如拉格朗日插值;这是生成它的最简单方法，因为您可以使用Horner方法计算多项式形式的系数，例如，与拉格朗日形式不同。

Answer 3

如果你说序列可以是完全随机的，那就没有魔法了。然而，它总是可能的，但不会挽救你的记忆。在最坏的情况下，任何插值方法都需要相同的内存量。因为，如果它没有，则可以将所有内容压缩到一个位。

另一方面，有时候可以使用蛮力，一些启发式（如genetic algorithms）或数值方法来重现某种具有指定类型的数学表达式，但祝你好运：）

只需使用一些归档工具即可节省内存使用量。

我认为阅读此内容对您有用：http://en.wikipedia.org/wiki/Entropy_(information_theory)

如何生成一个代数编码序列的函数？

3 个答案: