Question

我有这个问题需要解决。我不是在寻找答案，而是在寻找应该去的地方。我有一个算法，但它不是O（log n）。

给定二叉树T和一个不大于T中节点数的正整数k，写入伪代码来识别T中的元素v，使得T中的精确k - 1个元素小于v。您的代码应该花时间最多与之成正比 T的高度。

我在这里的基本想法是，我首先检查左侧树，检查左侧树的大小。如果左侧树的大小大于k-1，则继续向左搜索。否则我会搜索右。如果整个左侧树不包含具有k-1个元素的节点，则我搜索右侧子树。问题是我知道这不是O（log n），因为最坏的情况是我必须搜索树中的每个节点。

我有什么遗失的吗？任何提示或帮助都会很棒，但请不要只给我一个答案。

Answer 1

（我假设树实际上是二进制搜索树，而不仅仅是任何旧的二叉树）

您的算法为O(d)，其中d是树的最大深度。

这是因为每次进行这种比较时，你会继续向下一级（假设你还没有找到该元素）。因此，您将最多进行与树中的级别一样多的比较。

因此，除非您的树真的不平衡，否则您实际上并不会查看每个元素。事实上，如果你可以假设树是平衡的，那么你已经很好了（为什么？）。

Answer 2

如果我们谈论的是常规二叉树，那么很容易证明你需要探索整个树来找到这样一个节点，所以我假设我们正在谈论二元搜索树。

在二叉搜索树中，以下小于节点N：

节点A，它的左子节点及其所有后代，其中节点B是节点A的右子节点，节点B是节点N或其任何祖先。
```
    A
   / \
  X   B
 /     \
Y      ...
 \     /
  Z   N
```
A，X，Y和Z都小于N.（按照同样的规则，B也小于N）。
节点N的左子项

我怀疑你假设所有的孩子都比较小。

** SPOILER ALERT **

<强>算法：

寻找m元素较小的节点......

从顶部开始。
设x =左子树中的节点数（如果没有左子，则x = 0）
如果x = m，则返回当前节点。
如果x < m，请向左递归。
如果x > m，请设置m = m - x - 1并向右递送。

由于您只向左或向右移动，并且节点计数是常量（因为它是在节点级别给出的），因此运行时间为O(h)，其中h是树的高度，在平衡树中是O(log n)。

Answer 3

它与quickselect的算法几乎相同。根据左分支的大小递归到左或右分支。

Find(T, k) :=
    size(T.left) == k - 1 -> return T
    size(T.left) > k - 1 -> return Find(T.left, k)
    size(T.left) < k - 1 -> return Find(T.right, k - size(T.left) - 1)

问题中没有直接给出（但在评论中澄清）尺寸（T）是O（1）。

这需要最多高度（T）步长，因为在每个递归步骤中高度至少减少1。

你也可以迭代地写这个：

Find(T, k) := 
   while size(T.left) != k - 1:
       if size(T.left) > k - 1:
           T = T.left
       else:
           T = T.right
           k -= size(T.left) + 1
   return T

二叉树。识别T中的元素v，使得T中的k-1个元素小于v

3 个答案: