Question

我读了计算任意数字的平方根的方法，算法如下：

double findSquareRoot(int n) {
    double x = n;
    double y = 1;
    double e = 0.00001;
    while(x-y >= e) {
        x = (x+y)/2;
        y = n/x;
    }
    return x;
}

关于此方法的问题是

如何计算平方根？我不明白这背后的数学。 x=(x+y)/2 and y=n/x如何收敛于n的平方根。解释这个数学。
此算法的复杂性是什么？

Answer 1

很容易看出你是否进行了一些运行并打印了x和y的连续值。例如100：

50.5 1.9801980198019802
26.24009900990099 3.8109612300726345
15.025530119986813 6.655339226067038
10.840434673026925 9.224722348894286
10.032578510960604 9.96752728032478
10.000052895642693 9.999947104637101
10.000000000139897 9.999999999860103

请注意，诀窍是如果x 不是 n的平方根，那么它高于或低于真实根，n/x永远在另一边。因此，如果计算x和n/x的中点，它将更接近真实的根。

关于复杂性，它实际上是无限的，因为真正的根将永远不会到达。这就是你拥有e参数的原因。

Answer 2

这是Newton's method用于计算n的平方根的典型应用。您正在计算序列的限制：

x_0 = n
x_{i+1} = (x_i + n / x_i) / 2

您的变量x是当前字词x_i，而变量y是n / x_i。

要了解为什么必须计算此限制，您需要考虑函数：

f(x) = x^2 - n

您想要找到此功能的根目录。它的衍生物是

f'(x) = 2 * x

和牛顿的方法为您提供了公式：

x_{i+1} = x_i - f(x_i) / f'(x_1) = ... = (x_i + n / x_i) / 2

为了完整起见，我在这里复制@ rodrigo答案的基本原理，并结合我对它的评论。如果您想忘记Newton的方法并尝试单独理解此算法，这将非常有用。

诀窍是如果x不是n的平方根，那么它就是。y = n/x 近似值位于真实根之上或之下，而(x+y)/2始终位于真实根之上另一边。因此，如果您计算x的中点，它将是。{ 比这两个近似中最差的更接近真根（y或x）。当y和d足够接近时，您就完成了。

这也可以帮助您找到算法的复杂性。假设r是两个近似值中最差的与真实根(x+y)/2的距离。然后，中点r和d/2之间的距离最多为log(|n-sqrt(n)|/epsilon)（如果您绘制一条直线来显示它，它会对您有所帮助）。这意味着，每次迭代，距离减半。因此，最坏情况的复杂性是对数w.r.t。到初始近似的距离和所寻求的精度。对于给定的程序，它是

{{1}}

Answer 3

我认为所有信息都可以是found in wikipedia。

基本思想是，如果x高估了非负实数S的平方根，那么S / x将被低估，因此可以合理地预期这两个数字的平均值可以提供更好的近似。

每次迭代时，此算法会在答案中将正确的数字加倍，因此复杂性与所需精度的对数呈线性关系。

为什么会这样？如上所述here，如果你将进行无限次迭代，你会得到一些值，让我们把它命名为L.L必须满足等式L =（L + N / L）/ 2（如在算法中），所以L = sqrt（N）。如果你担心收敛，你可以计算每次迭代的平方相对误差（Ek是错误，Ak是计算值）：

Ek =（Ak / sqrt（N） - 1）²
如果：
Ak =（Ak-1 + N / Ak-1）/ 2和Ak = sqrt（N）（sqrt（Ek）+ 1）
你可以得出Ek的递归关系：
Ek = Ek-1²/ [4（sqrt（Ek-1）+ 1）²]
并且它的限制是0，因此A1，A2 ...序列的限制是sqrt（N）。

Answer 4

数学解释是，在小范围内，算术平均值是几何平均值的合理近似值，用于计算平方根。随着迭代越接近真正的平方根，算术平均值和几何平均值之间的差异消失，近似值变得非常接近。这是我最喜欢的Heron算法版本，它首先将输入 n 归一化，范围为1≤ n ＆lt; 4，然后展开循环一定数量的迭代，保证收敛。

def root(n):
    if n < 1: return root(n*4) / 2
    if 4 <= n: return root(n/4) * 2
    x = (n+1) / 2
    x = (x + n/x) / 2
    x = (x + n/x) / 2
    x = (x + n/x) / 2
    x = (x + n/x) / 2
    x = (x + n/x) / 2
    return x

我讨论了几个计算my blog的平方根的程序。

巴比伦广场根方法背后的数学

4 个答案: