Question

我写了一个代码，数字上使用勒让德多项式达到某个高n阶。例如：

....
case 8 
p = (6435*x.^8-12012*x.^6+6930*x.^4-1260*x.^2+35)/128; return
case 9 
...

如果向量x很长，则会变慢。我看到说x.^4和x.*x.*x.*x之间存在性能差异，并认为我可以使用它来改进我的代码。我使用timeit并找到了：

x=linspace(0,10,1e6);
f1= @() power(x,4)
f2= @() x.4;
f3= @() x.^2.^2
f4= @() x.*x.*x.*x

f4 更快 因子2 比其余<。但是，当我转到x.^6时，(x.*x.*x).^2和x.*x.*x.*x.*x.*x之间的差异很小（而所有其他选项都较慢）。

有没有告诉我最有效的方法来获取向量的力量？你能解释为什么性能会有这么大的差异吗？

Answer 1

这不是您问题的答案，但它可以解决您的问题：

x2 = x.*x; % or x.^2 or power(x,2), whichever is most efficient
p = ((((6435*x2-12012)*x2+6930)*x2-1260)*x2+35)/128

这种方式只需执行一次幂，并且仅使用指数2.此技巧可应用于所有勒让德多项式（在奇数次多项式中，x2由x替换。

Answer 2

以下是一些想法：

power(x,4)和x.^4相同（只需阅读文档）。

x.*x.*x.*x可能已针对类似x.^2.^2

的内容进行了优化

x.^2.^2可能被评估为：取每个元素的平方（快），然后再取正方形（再次快速）。

x.^4可能直接评估为：取每个元素的四次幂（慢）。

看到2个快速操作比1个慢速操作花费的时间少，这并不奇怪。太糟糕了，在功率4的情况下没有执行优化，但也许它不会总是有效或成本（输入检查，内存？）。

关于时间：实际上比2因素有更多的区别！

正如你现在在函数中调用它们一样，在每种情况下都会添加函数开销，使相对差异变小：

y=x;tic,power(x,4);toc
y=x;tic,x.^4;toc
y=x;tic,x.^2.^2;toc
y=x;tic,x.*x.*x.*x;toc

会给：

Elapsed time is 0.034826 seconds.
Elapsed time is 0.029186 seconds.
Elapsed time is 0.003891 seconds.
Elapsed time is 0.003840 seconds.

所以，差不多是10倍。但请注意，以秒为单位的时差仍然很小，因此对于大多数实际应用，我只想采用简单的语法。

Answer 3

似乎Mathworks在其幂函数中有特殊的套管正方形（不幸的是，它是我们无法看到的所有内置封闭源）。在我对R2013b的测试中，似乎.^，power和realpow使用相同的算法。对于正方形，我认为它们是特殊的，因为x.*x。

1.0x (4.4ms):   @()x.^2
1.0x (4.4ms):   @()power(x,2)
1.0x (4.5ms):   @()x.*x
1.0x (4.5ms):   @()realpow(x,2)
6.1x (27.1ms):  @()exp(2*log(x))

对于立方体，故事是不同的。它们不再是特殊的。同样，.^，power和realpow都相似，但这次要慢得多：

1.0x (4.5ms):   @()x.*x.*x
1.0x (4.6ms):   @()x.*x.^2
5.9x (26.9ms):  @()exp(3*log(x))
13.8x (62.3ms): @()power(x,3)
14.0x (63.2ms): @()x.^3
14.1x (63.7ms): @()realpow(x,3)

让我们跳到第16位，看看这些算法是如何缩放的：

1.0x (8.1ms):   @()x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x
2.2x (17.4ms):  @()x.^2.^2.^2.^2
3.5x (27.9ms):  @()exp(16*log(x))
7.9x (63.8ms):  @()power(x,16)
7.9x (63.9ms):  @()realpow(x,16)
8.3x (66.9ms):  @()x.^16

所以：.^，power和realpow都在关于指数的恒定时间内运行，除非它是特殊的（（-1似乎也是特殊的）。使用exp(n*log(x))技巧也是关于指数的恒定时间，并且更快。唯一的结果我不太明白为什么重复平方比乘法慢。

正如预期的那样，将x的大小增加100倍会增加所有算法的时间。

那么，这个故事的寓意？使用标量整数指数时，请始终自行进行乘法运算。 power和朋友中有很多聪明人（指数可以是浮点，矢量等）。唯一的例外是Mathworks为您完成优化的地方。在2013b中，似乎是x^2和x^(-1)。希望随着时间的推移他们会增加更多。但是，一般来说，求幂很难并且乘法很容易。在性能敏感的代码中，我不认为总是输入x.*x.*x.*x会出错。（当然，在您的情况下，请遵循路易斯的建议，并在每个学期内使用中间结果！）

function powerTest(x)

f{1} = @() x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x.*x;
f{2} = @() x.^2.^2.^2.^2;
f{3} = @() exp(16.*log(x));
f{4} = @() x.^16;
f{5} = @() power(x,16);
f{6} = @() realpow(x,16);

for i = 1:length(f)
    t(i) = timeit(f{i});
end

[t,idxs] = sort(t);
fcns = f(idxs);

for i = 1:length(fcns)
    fprintf('%.1fx (%.1fms):\t%s\n',t(i)/t(1),t(i)*1e3,func2str(fcns{i}));
end

有效的方法来获取向量的权力

3 个答案: