比较复杂形式表示的算法运行时间

Question

我知道如何比较不同算法的运行时间。

有时它显而易见，有时它需要简化，有时会分割和使用L'Hopital的规则来查看它是否收敛到常数或0。

但是，如果它们是复杂的形式，你如何比较它们？

例如，您将如何比较

和n？

当然，我想要一个严格的证据。

Answer 1

在此示例中，第一个简化是删除sqrt(2)-0.4幂。这种力量非常接近1，几乎没有什么区别。如果您的比较需要这种区别，请道歉。这可能有一个取幂规则，但我记不起我的数学了。

接下来是使用日志规则来分解 log ₉₆ n 。

等效于 log ₂ n / log ₂ 96 。现在你已经 2 了前者的力量。 log ₂ 96 只是一个常数（约6.585）。您可以将其考虑在内（因为当n增加时它变得无关紧要），或者将其保留并使用另一个日志规则。让我们留下来：

log ₂ n / log ₂ 96 变为 log ₂ n ^{（日志<子> 2 96） -1}

整个过程简化为 n ^{（log ₂ 96）-1} 。或者，如果您进行了额外的简化，您将获得 2 ^ log ₂ n ，这只是 n 。

由于你想比较与 n ，所以看起来第一个结果更相关，大约 0.15n 。< / p>

Answer 2

每个问题都是特别的。在这种情况下，假设n = 96 ^ k且96 = 2 ^ m。

n vs表达式可以改写为：

2^(m*k) vs 2^(k ^(sqrt(2) - 0.4))

由于2，m，k，sqrt（k）-0.4都是> 0，比较变为

(m * k) vs k ^(sqrt(2) - 0.4)

或

m vs k ^(sqrt(2) - 1.4) 

但是m = log 96到base 2是固定的（6.585）而k是无界的

因此表达式（RHS）会更大。