如何安排圈子使用尽可能低的空间？

Question

我正在使用Javascript构建配置工具，以不同的方式计算电缆截断的测量值。基本上，您可以输入电缆数量和电缆直径。现在我想将这些电缆可视化为具有给定直径的圆形，并自动将它们打包在一起以占据尽可能小的空间。以下是两个例子：

7根电缆包装在一起：

48根电缆：

正如您所看到的，我已经尝试通过使用物理引擎（physics.js）来实现这一点，并让重力自动优化元素。这在某种程度上适用于小数字但是需要很长时间来完成大量元素（> 20）并且它并不总能产生最佳结果。除此之外，我认为这种方式有点过头了。

在给定直径为 d 的圆圈时，是否有一种计算 x 位置的简洁方法？是否有一个框架或类似的东西来处理这些任务？我很好奇你的想法，提前谢谢。哦，顺便说一句，这不是作业 - 我是35岁以上:-D

Answer 1

此算法并不总能找到经过验证的最佳解决方案（这很难，因为for most numbers over 13 the best known configuration has not yet been proven to be ideal），但在大多数情况下，它至少应该提供一个“非常好”的解决方案：

  

  
• 从一个中心圆开始并将其放置
  
• 每增加一个圈子   
    
  • 找到最接近中心圆的角度   重叠已放置的圆圈
    
  • 把它放在那里
    
  

此算法的时间复杂度取决于您为新圆圈找到最近位置的效率。通过一些优化，您应该能够使其与圆圈数成线性关系。这意味着算法的整体复杂性为n²。

Answer 2

如果“最小可能空间”是指“包含在最小区域”（或“由最紧密的凸包围”），您可能会发现检查article in Wikipedia about circle packing：

是有用的

  

在二维欧几里德空间中，约瑟夫路易斯拉格朗日证明了   1773年，密度最高的圆的格子排列   是六边形的包装排列，其中心是   圆圈排列成六角形格子（交错排，像一个   蜂窝），每个圆圈被其他6个圆圈包围。

你能根据这个发现做出算法吗？我在想的是：从至少覆盖电缆数量的“平凡”六边形排列开始，然后开始在外圆上迭代并移除距离中心圆最远的那个。继续，直到剩下您需要的确切圈数。

如果你这样做，你可以节省计算“你已经知道的东西”的时间。也就是说，如果你有七个圆圈，你知道它是一个六边形，中间有一个圆圈。如果您有八个圆圈，则从12个圆圈的六边形开始，其中包含六个圆圈的六边形，其中包含一个圆圈：总共19个圆圈（12 + 6 + 1）。您开始从外六边形（带有12个圆圈的圆圈）中移除圆圈，直到您移除了11，然后以最佳排列留下8个圆圈（1 + 6 + 1）。